Cosinussatz < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 So 24.04.2005 | | Autor: | Langi |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es geht um ein Schularbeitenbeispiel, für das ich 10 Punkte verschenkt habe, sowie alle anderen aus meiner Klasse auch...
In folgenden Beispiel sind die Länge a=1.3m ,b=1.7m und d=2.6m bekannt.
Zu berechnen ist der Winkel [mm] \varepsilon [/mm] .
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sollte angeblich mit dem Cosinussatz kein Problem sein, geschafft hat es trotzdem keiner, nicht mal unser Lehrer (!).
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hi, Langi,
verwende doch den Cosinussatz in Verbindung mit dem Sinus am rechtwinkligen Dreieck!
1. Schritt: Ich nenne die Hypothenuse des rechten oberen Dreiecks x.
Dann ist die des kleineren linken Dreiecks wegen der ÄHNLICHKEIT dieser Dreiecke: [mm] \bruch{1,3}{1,7}*x.
[/mm]
2. Schritt: Aus der Definition der Sinusfunktion ergibt sich: [mm] sin(\epsilon) [/mm] = [mm] \bruch{1,7}{x} [/mm] und daraus: [mm] x=\bruch{1,7}{sin(\epsilon)} [/mm] (***)
3. Schritt: Cosinussatz am "unteren" Dreieck:
[mm] 2,6^{2} [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] (\bruch{1,3}{1,7}*x)^{2} -2*x*(\bruch{1,3}{1,7}*x)*cos(180°-2\epsilon)
[/mm]
Da kann man [mm] x^{2} [/mm] ausklammern und den Cosinus umformen mit:
[mm] cos(180°-2\epsilon) [/mm] = - [mm] cos(2\epsilon).
[/mm]
Also:
[mm] 2,6^{2} [/mm] = [mm] x^{2}*(1 [/mm] + [mm] (\bruch{1,3}{1,7})^{2} [/mm] + [mm] 2*\bruch{1,3}{1,7}*cos(2\epsilon))
[/mm]
Nun ist noch: [mm] cos(2\epsilon) [/mm] = 1 - [mm] 2*sin^{2}(\epsilon)
[/mm]
Durch (***) (siehe 2. Schritt) wird noch das [mm] x^{2} [/mm] ersetzt und anschließend auf die linke Seite gebracht:
[mm] \bruch{2,6^{2}}{1,7^{2}}*sin^{2}(\epsilon) [/mm] = 1 + [mm] (\bruch{1,3}{1,7})^{2} [/mm] + [mm] 2*\bruch{1,3}{1,7}*(1-2*sin^{2}(\epsilon))
[/mm]
Nach weiterer Umformung (die ich hier nicht im Einzelnen eingebe!)
erhalte ich schließlich:
[mm] sin^{2}(\epsilon) [/mm] = 0,576923
und daraus (das zweite Ergebnis lass' ich gleich "unter den Tisch fallen")
[mm] sin(\epsilon) [/mm] = 0,7595545,
was wiederum zu einem Winkel von
[mm] \epsilon \approx [/mm] 49,4° führt.
(Keine Garantie für Rechenfehler!)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 So 24.04.2005 | | Autor: | kampl |
also mit sinus und cosinus-satz komme ich auf diese gleichung:
[mm] d^{2}=( \bruch{a}{sin( \varepsilon)})^{2}+( \bruch{b}{sin( \varepsilon)})^{2}-2*\bruch{a}{sin( \varepsilon)}*\bruch{b}{sin( \varepsilon)}*cos(180-2\varepsilon)
[/mm]
Mit dem TI bekommt man eine schöne Lösung!!
Doch mit dem Umformen hab ich Probleme!
Vor allem mit der Zeit da bei einer SA nur 60 min Zeit sind und es nur ein Beispiel aus 4ren ist.
mfg Kampl
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Hallo Langi,
Betrachte folgendes Schaubild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wir wollen die Fläche unter [m]g\left( x \right): = mx + a[/m] bestimmen. Das tun wir durch folgendes Integral:
[m]\int\limits_0^{x_b } {\left( {mx + a} \right)} dx = \frac{{mx_b^2 }}
{2} + ax_b[/m].
Da wir es hier mit einem Trapez zu tun haben, gilt außerdem: [m]A_{{\texttt{Trapez}}} = \tfrac{k}{2}\left( {a + b} \right)[/m]. [mm] $k\!$ [/mm] ist also die Höhe. [mm] $A\!$ [/mm] ist aber gleich der Fläche, die wir durch das Integral rausgekriegt haben:
[m]\frac{{mx_b^2 }}{2} + ax_b = \frac{k}{2}\left( {a + b} \right)[/m]
Was ist [mm] $x_b$? [/mm] Per Definition ist [mm] $x_b$:
[/mm]
[m]g\left( {x_b } \right) = b \Leftrightarrow mx_b + a = b \Leftrightarrow x_b = \frac{{b - a}}{m}[/m]
Das setzen wir in die obere Gleichung ein:
[m]\begin{gathered}
\frac{{\left( {b - a} \right)^2 }}
{{2m}} + a\frac{{b - a}}
{m} = \frac{k}
{2}\left( {a + b} \right) \Leftrightarrow \left( {b - a} \right)^2 + 2a\left( {b - a} \right) = mk\left( {a + b} \right) \hfill \\
\Leftrightarrow m = \frac{{\left( {b - a} \right)^2 + 2a\left( {b - a} \right)}}
{{k\left( {a + b} \right)}} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Das läßt sich noch weiter vereinfachen und wir erhalten:
[m]m = \frac{{\left( {b - a} \right)^2 + 2a\left( {b - a} \right)}}
{{k\left( {a + b} \right)}} = \frac{{b - a}}{k}[/m]
Wir kennen jetzt also den roten Winkel, da die Steigung der Tangens von diesem ist. Der blaue Winkel ist der [m]\texttt{\textcolor{red}{rote Winkel}} + \tfrac{\pi}{2}[/m]. Wir erhalten für den blauen Winkel:
[m]\frac{\pi }
{2} + \arctan \left( {\frac{{b - a}}
{k}} \right) = {\mathrm{arccotan}}\left( {\frac{{b - a}}
{k}} \right)[/m]
Jetzt benutzen wir den Kosinussatz, um eine Abhängigkeit zu [mm] $z\!$ [/mm] aufzubauen:
[m]z^2 = a^2 + d^2 - 2ad\cos \left( {{\mathrm{arccotan}}\left( {\frac{{b - a}}{k}} \right)} \right)[/m]
Es gilt außerdem nach Pythagoras: [m]k^2 + b^2 = z^2[/m]. Wir können die beiden Gleichungen nun gleichsetzen:
[m]k^2 + b^2 = a^2 + d^2 - 2ad\cos \left( {{\mathrm{arccotan}}\left( {\frac{{b - a}}{k}} \right)} \right)[/m]
Die gute Nachricht ist jetzt, daß wir eine Gleichung mit nur einer Unbekannten bekommen haben (nämlich [mm] $k\!$). [/mm] Die schlechte Nachricht ist, daß wir diese Gleichung offenbar nicht nach [mm] $k\!$ [/mm] hin umformen können. Mein Computeralgebrasystem hat es versucht, und hat folgende Gleichung rausbekommen:
[m]\left( {k^2 - a^2 + b^2 - d^2 } \right)\sqrt {k^2 + a^2 - 2ab + b^2 } = 2ad\left( {b - a} \right)[/m]
Wir können [mm] $k\!$ [/mm] jedoch numerisch (z.B. mit dem Newton-Verfahren rauskriegen), indem wir für die restlichen Konstanten (z.B. deine) Werte einsetzen:
[m]\left( {25k^2 - 139} \right)\sqrt {25k^2 + 4} = 338[/m]
Jetzt könnte ich z.B. die erste Ableitung davon bilden und dann mit Newton weitermachen: $k = 2.569046504$.
Jetzt zum [mm] $\epsilon$. [/mm] Es gilt:
[m]\frac{b}{{k_2 }} = \tan \left( \varepsilon \right) = \frac{a}{{k_1 }} \Leftrightarrow bk_1 - ak_2 = 0[/m]
Und [mm] $k_1 [/mm] + [mm] k_2 [/mm] = k$. Damit erhalten wir für [mm] $k_1$:
[/mm]
[m]\varepsilon = \arctan \left( {\frac{a}{{\frac{{ak}}{{a + b}}}}} \right) = \arctan \left( {\frac{{a + b}}{k}} \right) \approx 0.8626279626[/m]
Damit ist die Aufgabe (näherungsweise) gelöst.
Viele Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Na hier wird ja wild umhergerechnet, bin gerade eher durch zufall auf das Problem bestossen, und muss sagen in einer Schulaufgabe hätte ich es unter Zeit druck nicht hin gebracht auch wenn ich eine schöne elegante und einfache Lösung gefunden habe:
mit der Berechnung über ein Rechtwinkliges Dreieck kannst Du die Länge der Grundlinie berechnen.. Phytagoras = 2,63
leider kann ich hier nicht zeichnen aber ich beschreib kurz meinen Ansatz:
Du kannst die Hypothenusen beider Rechtwinkligen Dreiecke links und rechst oben als Paralell ansehen,( zeichne beide ineinander) da sie ja den gleichen Winkel epsilon haben. die Seite des Dreiecks ist ein mal 1,7 und beim kleinen 1,3. die untere Länge der Seite ist k1+k2=2,63
So um den Winkel epsilon zu berechnen bildest Du ein großes Dreieck mit untere Länge 2,63 und einer Seiten länge von 1,3+1,7=3 (Der Winkel bleibt gleich Parallel verschiebung !!) und kommst mittels dem Tangenssatz auf tan^-1(3/2,63)=48,7°
q.e.d Lehrer sind auch nur Menschen....
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