Cos[(3/2)*Arcsin(x)]=? < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Sa 23.02.2008 | | Autor: | fanatic1 |
Es gibt ja die Beziehung [mm] \wurzel{1-x^{2}}= [/mm] Sin [Arccos(x)]
aber gibt es sowas in der Art auch für Cos[b*Arcsin(x)] bzw. Sin [(1/b)*Arccos(x)] wobei b eine reelle Zahl? (In dem Problem, das ich zu lösen habe b=1,5)
Ich habe die Frage in keinem anderen Internetforum gestellt
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Hallo fanatic1,
das kann man sich "hinbasteln", zB. mit den ![[]](/images/popup.gif) "Halbwinkelformeln"
(1) [mm] $\cos\left(\frac{z}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1+\cos(z)}{2}}$
[/mm]
(2) [mm] $\sin\left(\frac{z}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos(z)}{2}}$
[/mm]
und dem Additionstheorem für den Cosinus:
[mm] $\cos(a+b)=\cos(a)\cdot{}\cos(b)-\sin(a)\cdot{}\sin(b)$
[/mm]
Damit ist dann
[mm] $\cos\left(\frac{3}{2}\cdot{}\arccos(x)\right)=\cos\left(\arccos(x)+\frac{\arccos(x)}{2}\right)=\cos(\arccos(x))\cdot{}\cos\left(\frac{\arccos(x)}{2}\right)-\sin(\arccos(x))\cdot{}\sin\left(\frac{\arccos(x)}{2}\right)$
[/mm]
[mm] $=x\cdot{}\sqrt{\frac{1+\cos(\arccos(x))}{2}}-\sqrt{1-x^2}\cdot{}\sqrt{\frac{1-\cos(\arccos(x))}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot{}\left(x\cdot{}\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x^2}\cdot{}\sqrt{1-x}\right)=\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{2}}\cdot{}\left(x-\sqrt{1-x}\cdot{}\sqrt{1-x}\right)$
[/mm]
[mm] $=\frac{\sqrt{1+x}\cdot{}(2x-1)}{\sqrt{2}}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Sa 23.02.2008 | | Autor: | fanatic1 |
Vielen Dank, hatte ja damit gerechnet dass es nicht ganz einfach ist, aber das war doch eine kompliziertere Umformung als ich erwartet hatte...
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