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| Aufgabe | Let [mm] g_{a,b}(n) [/mm] be the number of compositions of n with parts a and b, and let [mm] h_{a,b}(n) [/mm] be the number of compositions of n with parts of the form a+bk for [mm] k\in [/mm] N. Prove that [mm] g_{a,b}(n) =h_{a,b}(n+a) [/mm]
a) using generating functions
b) combinatorially |
Eine composition of n haben wir definiert als die zerlegung von n in eine summe aus natürlichen zahlen. jeder summand wird als part bezeichnet. zB n=a+b+c+d eine composition von n, dann sind a,b,c,d die parts.
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich die aufgabenstellung richtig verstanden hab. so wie ich das sehe, muss eine composition, damit zu [mm] g_{a,b}(n) [/mm] hinzugezählt wird nur die parts a und b enthalten und der rest ist egal.
zB: n=a+b+x+y+...
analog für [mm] h_{a,b}(n), [/mm] n=a+bk+x+y+...
zu teilaufgabe a) ist mir bisher noch nichts eingefallen. hat jmd einen tipp für mich?
zu b) habe ich mir folgendes überlegt:
die ausage lautet, dass es genauso viele möglichkeiten für
[mm] n=a+b+g_1+g_2+... [/mm] gibt, wie für [mm] n+a=a+bk+h_1+h_2+.....
[/mm]
[mm] h_i [/mm] und [mm] g_i [/mm] können irgendwas sein, solange die summe stimmt. n,k,a und b sind hingegen fest.
selbstverständlich dürfen die summe von a und b und die summe von a und bk höchstens so groß wie n bzw n+a sein, damit es mindestens eine möglichkeit gibt.
im allgemeinen gibt es umso mehr möglichkeiten n als composition zu schreiben, je größer n ist. demnach gibt es mehr möglichkeiten n+a als irgendeine composition zu schreiben, als n. allerdings darf das nicht der fall sein, weil wenn man k=1 wählen würde müsste es gleich viele möglichkeiten für compositionen von n und n+a geben.
also dürfte die aussage, die zu beweisen ist doch gar nicht stimmen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Fr 30.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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