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| Aufgabe | Ein Funktion mit konstanter Elastizität
[mm] \bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] = c, x > 0, c [mm] \in \IR,
[/mm]
wird in der Wirtschaftsmathematik als Cobb-Douglas-Funktion bezeichnet. Was ist die allgemeinste Form einer Cobb-Douglas-Funktion? |
Die Lösung lautet f(x) = A [mm] x^c.
[/mm]
Wenn ich die Differentialgleichung löse komme ich auf
f(x) = [mm] \bruch{f(x_0)}{ln(x_0)} ln(x)^c.
[/mm]
Mir leuchtet ein, dass [mm] \bruch{f(x_0)}{ln(x_0)} [/mm] eine Konstante (K) ist, also
f(x) = K [mm] ln(x)^c
[/mm]
Aber um auf die Lösung zu kommen, müsste es doch eine weitere Konstante (C) geben, sodass
[mm] ln(x)^c [/mm] = C [mm] x^c
[/mm]
Wie soll das gehen? Versteht ihr mein Problem?
Danke und Gruß
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:11 Fr 23.08.2019 | | Autor: | fred97 |
> Ein Funktion mit konstanter Elastizität
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> [mm]\bruch{f'(x)}{f(x)}[/mm] = c, x > 0, c [mm]\in \IR,[/mm]
>
> wird in der Wirtschaftsmathematik als Cobb-Douglas-Funktion
> bezeichnet. Was ist die allgemeinste Form einer
> Cobb-Douglas-Funktion?
> Die Lösung lautet f(x) = A [mm]x^c.[/mm]
Das stimmt nicht. Denn ist [mm] $f(x)=Ax^c$, [/mm] so ist [mm] $f'(x)=cAx^{c-1}$, [/mm] also
[mm] $\frac{f'(x)}{f(x)}= \frac{c}{x}.$
[/mm]
____________________________
Die DGL [mm]\bruch{f'(x)}{f(x)}=c[/mm] kann man auch so schreiben:
$f'(x)=cf(x)$.
Das ist eine lineare, homogene DGL erster Ordnung und hat die allgemeine Lösung
[mm] $f(x)=Ae^{cx}$,
[/mm]
wobei $A$ eine reelle Konstante ist.
>
> Wenn ich die Differentialgleichung löse komme ich auf
>
> f(x) = [mm]\bruch{f(x_0)}{ln(x_0)} ln(x)^c.[/mm]
>
> Mir leuchtet ein, dass [mm]\bruch{f(x_0)}{ln(x_0)}[/mm] eine
> Konstante (K) ist, also
>
> f(x) = K [mm]ln(x)^c[/mm]
>
> Aber um auf die Lösung zu kommen, müsste es doch eine
> weitere Konstante (C) geben, sodass
>
> [mm]ln(x)^c[/mm] = C [mm]x^c[/mm]
>
> Wie soll das gehen? Versteht ihr mein Problem?
>
> Danke und Gruß
>
> Martin
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Sorry, aber mir ist beim Abtippen ein Fehler unterlaufen.
Es muss heißen:
[mm] \bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] x = c
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:02 Fr 23.08.2019 | | Autor: | fred97 |
> Sorry, aber mir ist beim Abtippen ein Fehler unterlaufen.
> Es muss heißen:
>
> [mm]\bruch{f'(x)}{f(x)}[/mm] x = c
Diese DGL kannst Du mit "Trennung der Veränderlichen" lösen: ich schreibe y=f(x), dann bekimmen wir
$ [mm] \frac{dy}{y}=c \frac{1}{x} [/mm] dx.$
Integration liefert
$ [mm] \ln [/mm] (y)= c [mm] \ln [/mm] (x)+d.$
Und somit
$f(x)= y(x)= [mm] e^{c \ln (x)} e^d= e^{\ln(x^c)} e^d=e^d x^c=Ax^c,$
[/mm]
wobei [mm] $A:=e^d.$
[/mm]
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