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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Do 23.11.2006 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Bestimmen sie alle Lösungen der Clairut-DGL
y-xy'+ [mm] \bruch{1}{2} (y')^{2}=0
[/mm]
Skizzieren sie die Lösungen. |
Hallo zusammen,
habe mich in diesem Fall zum 1.Mal mit Clairut-DGLs befasst. Deshalb würde ich mich freuen, wenn mal jemand drüberschauen könnte, um mir ein Feedbacl zu geben, ob das so in Ordnung ist.
Also:
y-xy'+ [mm] \bruch{1}{2} (y')^{2}=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y=xy'+(- [mm] \bruch{1}{2} (y')^{2}) [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y(p)=x(p)p+g(p) , wobei g(p)=- [mm] \bruch{1}{2} p^{2} [/mm] (1)
[mm] \Rightarrow [/mm] y'(p)=x'(p)p+x(p)+(-p) (2)
da y'(p)=px(p): (2) [mm] \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow [/mm] x(p)=-g'(p)=p (3)
(1) [mm] \Rightarrow [/mm] y(p)= [mm] \bruch{1}{2} p^{2} [/mm] (nach (3))
Somit hätten wir schon mal eine Lösungskurve.
Zu den restlichen Lösungen:
y=cx+G(c) [mm] \Rightarrow [/mm] y=cx- [mm] \bruch{1}{2} c^{2}
[/mm]
Das heisst, dass unsere skizzierte "Lösung" eine Parabel (die Kurve) ist und die restlichen Lösungen sind Tangenten an dieser Parabel mit Steigung c und Schnittpunkt - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] c an der y-Achse.
Außer der Korrektur würde ich jetzt gerne noch wissen, wie ich diese Lösung am besten ausdrücke.
[mm] y(x)=\begin{cases} \bruch{1}{2} x^{2}, & \mbox{für } y \mbox{ ist Lösungskurve} \\ cx+g(c), & \mbox{für } y \mbox{ sind Tangenten an Lösungskurve} \end{cases} [/mm] ????????????????ß
Danke schon mal für eure Hilfe. LG, Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Do 23.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Scheint alles richtig, nur [mm] y=cx-c^2/2 [/mm] sind auch echte Lösungskurven, nicht nur Tangenten an eine Lösungskurve..
d.h. zu Anfangswerten, die auf der Parabel liegen gibt es immer 2 Lösungen,
Gruss leduart
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