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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Clairaut´sche DGL
Clairaut´sche DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Clairaut´sche DGL: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:44 So 30.05.2010
Autor: babapapa

Aufgabe
Folgende Clairaut´sche DGL ist zu lösen:

y = x y' + (8 + [mm] y'^2)^{1/4} [/mm]

Hallo!

Ich probiere mich gerade an dieser Aufgabe aber komme seit einiger Zeit nicht weiter.

Also die Clairaut´sche DGL hat die folgende Form:

y = xy' + f(y') wobei g stetig differenzierbar sein muss
Gut die 3-te Wurzel ist differenzierbar und danach überall stetig

also der erste Schritt ist nun die ganze Gleichung nach x abzuleiten

y = x y' + (8 + [mm] y'^2)^{1/4} [/mm]
y' = y'' x + y' + [mm] \bruch{2 y' * y''}{4 * (8 + y'^2)^{1/4}} [/mm]

jetzt soll die gleichung folgende Form haben:

y' = y' + xy'' + f'(y') y'' => y'' (x + f'(y')) = 0

y' soll man nun mit einer variablen S ersetzen
also
S' (x + f'(S)) = 0

umgelegt auf meine Aufgabe

y' = y'' x + y' + [mm] \bruch{2 y' * y''}{4 * (8 + y'^2)^{1/4}} [/mm]
y'' x  + [mm] \bruch{2 y' * y''}{4 * (8 + y'^2)^{1/4}} [/mm] = 0
S = y'

y'' * (x  + [mm] \bruch{1 y'}{2 * (8 + y'^2)^{1/4}}) [/mm] = 0
S' * (x + [mm] \bruch{S}{2 * (8 + S^2)^{1/4}}) [/mm] = 0

damit bekommt man 2 Lösungen
S' = 0
und
S = c
=> y = x y' + (8 + [mm] y'^2)^{1/4} [/mm]
= y = xc + (8 + [mm] c^2)^{1/4} [/mm] wobei c [mm] \in \IR [/mm]

zweite Lösung:

x + [mm] \bruch{S}{2 * (8 + S^2)^{1/4}} [/mm] = 0
=>
x = - [mm] \bruch{S}{2 * (8 + S^2)^{1/4}} [/mm]
einsetzen in die Angabe

y = x y' + (8 + [mm] y'^2)^{1/4} [/mm]
y = - [mm] \bruch{S}{2 * (8 + S^2)^{1/4}} [/mm] * S + (8 + [mm] S^2)^{1/4} [/mm]

aber genau hier stehe ich an, ich weiß nämlich nicht ob mein vorgehen korrekt ist. vielen dank für jeden Tipp

lg
Babapapa


        
Bezug
Clairaut´sche DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:29 So 30.05.2010
Autor: Martinius

Hallo,

> Folgende Clairaut´sche DGL ist zu lösen:
>  
> y = x y' + (8 + [mm]y'^2)^{1/4}[/mm]
>  Hallo!
>  
> Ich probiere mich gerade an dieser Aufgabe aber komme seit
> einiger Zeit nicht weiter.
>  
> Also die Clairaut´sche DGL hat die folgende Form:
>  
> y = xy' + f(y') wobei g stetig differenzierbar sein muss
>  Gut die 3-te Wurzel ist differenzierbar und danach
> überall stetig
>  
> also der erste Schritt ist nun die ganze Gleichung nach x
> abzuleiten
>  
> y = x y' + (8 + [mm]y'^2)^{1/4}[/mm]
>  y' = y'' x + y' + [mm]\bruch{2 y' * y''}{4 * (8 + y'^2)^{1/4}}[/mm]




Ist die 4. Wurzel richtig abgeleitet? Ist es nicht:

$y' = y'' x + y' + [mm] \bruch{2 y' * y''}{4 * (8 + y'^2)^{3/4}}$ [/mm]



> jetzt soll die gleichung folgende Form haben:
>  
> y' = y' + xy'' + f'(y') y'' => y'' (x + f'(y')) = 0
>  
> y' soll man nun mit einer variablen S ersetzen
>  also
>  S' (x + f'(S)) = 0
>  
> umgelegt auf meine Aufgabe
>  
> y' = y'' x + y' + [mm]\bruch{2 y' * y''}{4 * (8 + y'^2)^{1/4}}[/mm]
>  
> y'' x  + [mm]\bruch{2 y' * y''}{4 * (8 + y'^2)^{1/4}}[/mm] = 0
>  S = y'
>  
> y'' * (x  + [mm]\bruch{1 y'}{2 * (8 + y'^2)^{1/4}})[/mm] = 0
>  S' * (x + [mm]\bruch{S}{2 * (8 + S^2)^{1/4}})[/mm] = 0
>  
> damit bekommt man 2 Lösungen
>  S' = 0
>  und
>  S = c
>  => y = x y' + (8 + [mm]y'^2)^{1/4}[/mm]

>  = y = xc + (8 + [mm]c^2)^{1/4}[/mm] wobei c [mm]\in \IR[/mm]
>  
> zweite Lösung:
>  
> x + [mm]\bruch{S}{2 * (8 + S^2)^{1/4}}[/mm] = 0
>  =>
>  x = - [mm]\bruch{S}{2 * (8 + S^2)^{1/4}}[/mm]
> einsetzen in die Angabe
>  
> y = x y' + (8 + [mm]y'^2)^{1/4}[/mm]
>  y = - [mm]\bruch{S}{2 * (8 + S^2)^{1/4}}[/mm] * S + (8 +
> [mm]S^2)^{1/4}[/mm]
>  
> aber genau hier stehe ich an, ich weiß nämlich nicht ob
> mein vorgehen korrekt ist. vielen dank für jeden Tipp


Abgesehen von der Ableitung der Wurzel habe ich das auch heraus.

$x = [mm] -\bruch{S}{2 * (8 + S^2)^{3/4}}$ [/mm]

$y = [mm] -\bruch{S^2}{2 * (8 + S^2)^{3/4}} [/mm] + (8 + [mm] S^2)^{1/4}$ [/mm]

als Parametergleichungen.


  

> lg
>  Babapapa
>  

LG, Martinius

Bezug
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