Chinesischer Restsatz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallöchen,
ich gehen den Beweis des chinesischen Restsatzes durch. Kann aber leider nicht so richtig folgen. Eigentlich sogar muss ich gestehen so gut wie gar nicht. Wir haben erst einmal allgemein in den Kontext eingeleitet bevor wir den Satz formuliert haben.
Sei also R kommutatuiv mit 1 aber nicht notwendig nullteilerfrei. Des weiteren seien [mm] I_1 [/mm] ,..., [mm] I_n \subset [/mm] R Ideale. Dann haben wir einen Homomorphismus [mm] \phi: [/mm] R [mm] \to R/I_1 \times [/mm] ... [mm] \times R/I_n [/mm] mit r [mm] \to (r+I_1 [/mm] ,..., [mm] r+I_n) [/mm] und Kern [mm] \phi= I_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap I_n
[/mm]
Anwendung des Homomorphiesatzes liefert uns einen injektiven Homomorphismus:
[mm] \overline{\phi} [/mm] : [mm] R/_{I_1 \cap ... \cap I_n} \to R/I_1 \times [/mm] ... [mm] \times R/I_n [/mm] mit [mm] r+I_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap I_n \to (r+I_1 [/mm] , ..., [mm] r+I_n) [/mm] Gelte zusätzlich [mm] I_i [/mm] + [mm] I_j [/mm] =R für i und j teilerfremd. Dann ist [mm] \overline{\phi} [/mm] surjektiv, also insgesamt Isomorphismus. Alternative Formulierung: Seien [mm] a_1 [/mm] ,..., [mm] a_R \in [/mm] R. Dann existiert r [mm] \in [/mm] R mit r [mm] \equiv a_i [/mm] mid [mm] I_i [/mm] und [mm] r+I_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap I_n [/mm] ist die Gesamtheit solcher Elemente.
So ersteinmal muss ich ja zugeben, dass ich die Formulierung schon recht verwirrend finde. Aber nun zum Beweis.
Wir führen Beweis mittels vollständiger Induktion. Für n=1 ist alles klar.
Für n=2 ist [mm] I_1 +I_2 [/mm] =R. Deswegen exisiteren [mm] s_i \in I_i [/mm] für i=1,2 mit [mm] s_1+s_2=1. [/mm] Daraus folgt direkt [mm] s_1 \equiv [/mm] 1 mod [mm] I_2 [/mm] und [mm] s_2 \equiv [/mm] 1 mod [mm] I_1. [/mm] Setze dann [mm] r=s_2 a_1 [/mm] + [mm] s_1 a_2
[/mm]
So an diesem Punkt ist mir nicht klar warum daraus das gewünschte folgt denn:
[mm] s_2 a_1 [/mm] + [mm] s_1 a_2 [/mm] mod [mm] I_1 [/mm] = [mm] s_2 a_1 \equiv [/mm] 0 mod [mm] I_1
[/mm]
und analog für [mm] I_2 [/mm] aber dann wären die [mm] a_i [/mm] doch immer 0 oder? Kann mir jemand erklären wieso an diesem Punkt die Induktionsvoraussetzung gezeigt ist?
Ich sehe das leider nicht ein.
Liebe Grüße
Schmetterfee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 So 15.01.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallöchen,
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> ich gehen den Beweis des chinesischen Restsatzes durch.
> Kann aber leider nicht so richtig folgen. Eigentlich sogar
> muss ich gestehen so gut wie gar nicht. Wir haben erst
> einmal allgemein in den Kontext eingeleitet bevor wir den
> Satz formuliert haben.
>
> Sei also R kommutatuiv mit 1 aber nicht notwendig
> nullteilerfrei. Des weiteren seien [mm]I_1[/mm] ,..., [mm]I_n \subset[/mm] R
> Ideale. Dann haben wir einen Homomorphismus [mm]\phi:[/mm] R [mm]\to R/I_1 \times[/mm]
> ... [mm]\times R/I_n[/mm] mit r [mm]\to (r+I_1[/mm] ,..., [mm]r+I_n)[/mm] und Kern
> [mm]\phi= I_1 \cap[/mm] ... [mm]\cap I_n[/mm]
> Anwendung des
> Homomorphiesatzes liefert uns einen injektiven
> Homomorphismus:
> [mm]\overline{\phi}[/mm] : [mm]R/_{I_1 \cap ... \cap I_n} \to R/I_1 \times[/mm]
> ... [mm]\times R/I_n[/mm] mit [mm]r+I_1 \cap[/mm] ... [mm]\cap I_n \to (r+I_1[/mm] ,
> ..., [mm]r+I_n)[/mm] Gelte zusätzlich [mm]I_i[/mm] + [mm]I_j[/mm] =R für i und j
> teilerfremd.
Achtung: Es heisst bestimmt [mm] $i\neq [/mm] j$!
> Dann ist [mm]\overline{\phi}[/mm] surjektiv, also
> insgesamt Isomorphismus. Alternative Formulierung: Seien
> [mm]a_1[/mm] ,..., [mm]a_R \in[/mm] R. Dann existiert r [mm]\in[/mm] R mit r [mm]\equiv a_i[/mm]
> mid [mm]I_i[/mm] und [mm]r+I_1 \cap[/mm] ... [mm]\cap I_n[/mm] ist die Gesamtheit
> solcher Elemente.
>
> So ersteinmal muss ich ja zugeben, dass ich die
> Formulierung schon recht verwirrend finde. Aber nun zum
> Beweis.
>
> Wir führen Beweis mittels vollständiger Induktion. Für
> n=1 ist alles klar.
> Für n=2 ist [mm]I_1 +I_2[/mm] =R. Deswegen exisiteren [mm]s_i \in I_i[/mm]
> für i=1,2 mit [mm]s_1+s_2=1.[/mm] Daraus folgt direkt [mm]s_1 \equiv[/mm] 1
> mod [mm]I_2[/mm] und [mm]s_2 \equiv[/mm] 1 mod [mm]I_1.[/mm] Setze dann [mm]r=s_2 a_1[/mm] +
> [mm]s_1 a_2[/mm]
>
> So an diesem Punkt ist mir nicht klar warum daraus das
> gewünschte folgt denn:
> [mm]s_2 a_1[/mm] + [mm]s_1 a_2[/mm] mod [mm]I_1[/mm] = [mm]s_2 a_1 \equiv[/mm] 0 mod [mm]I_1[/mm]
> und analog für [mm]I_2[/mm] aber dann wären die [mm]a_i[/mm] doch immer 0
> oder? Kann mir jemand erklären wieso an diesem Punkt die
> Induktionsvoraussetzung gezeigt ist?
>
> Ich sehe das leider nicht ein.
>
> Liebe Grüße
> Schmetterfee
>
Ich rechne so: [mm] $r-a_{1}= (s_{2}-1)a_{1}+ s_{1}a_{2}$. [/mm] Wegen $1= [mm] s_{1}+ s_{2}$ [/mm] folgt [mm] $r-a_{1}= s_{1}(a_{1}+a_{2})$. [/mm] Da [mm] $s_{1}\in I_{1}$ [/mm] gilt, hat man [mm] $r-a_{1}\in I_{1}$ [/mm] bzw. [mm] $r\equiv a_{1}$ [/mm] mod [mm] $I_{1}$. [/mm] Eine analoge Rechnung zeigt die gewuenschte Relation fuer [mm] $a_{2}$ [/mm] und [mm] $I_{2}$
[/mm]
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Ah okay. Dann habe ich den Induktionsanfang. Im Induktionsschritt verstehe ich jedoch auch nur den Anfang. Hier heißt es.
Wähle [mm] s_i \in I_i [/mm] für i=1,...,n und [mm] t_i \in I_{n+1} [/mm] mit [mm] s_i [/mm] + [mm] t_i [/mm] =1 für alle i=1,...,n.
Dann ist 1= [mm] \produkt_{i=1}^{n} (s_i [/mm] + [mm] t_1) \in \produkt_{i=1}^{n} I_i +I_{n+1}.
[/mm]
Wende nun n=2 an und erhalte so [mm] x_{n+1} \in [/mm] R mit:
[mm] x_{n+1} \equiv [/mm] 1 mod [mm] I_{n+1} [/mm] und [mm] \equiv [/mm] 0 mod [mm] \produkt_{i=1}^{n} I_i
[/mm]
Das verstehe ich nun auch leider wieder nicht. Wo kommt das denn her? Ist dieses [mm] x_{n+1} [/mm] eins von den [mm] t_i? [/mm] weil sonst kann ich mir wirklich nicht erklären wo das herkommt.
Liebe Grüße
Schmetterfee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Mo 16.01.2012 | | Autor: | hippias |
> Ah okay. Dann habe ich den Induktionsanfang. Im
> Induktionsschritt verstehe ich jedoch auch nur den Anfang.
> Hier heißt es.
>
> Wähle [mm]s_i \in I_i[/mm] für i=1,...,n und [mm]t_i \in I_{n+1}[/mm] mit
> [mm]s_i[/mm] + [mm]t_i[/mm] =1 für alle i=1,...,n.
> Dann ist 1= [mm]\produkt_{i=1}^{n} (s_i[/mm] + [mm]t_1) \in \produkt_{i=1}^{n} I_i +I_{n+1}.[/mm]
>
> Wende nun n=2 an und erhalte so [mm]x_{n+1} \in[/mm] R mit:
> [mm]x_{n+1} \equiv[/mm] 1 mod [mm]I_{n+1}[/mm] und [mm]\equiv[/mm] 0 mod
> [mm]\produkt_{i=1}^{n} I_i[/mm]
>
> Das verstehe ich nun auch leider wieder nicht. Wo kommt das
> denn her? Ist dieses [mm]x_{n+1}[/mm] eins von den [mm]t_i?[/mm] weil sonst
> kann ich mir wirklich nicht erklären wo das herkommt.
>
> Liebe Grüße
> Schmetterfee
Es ist wohl so gemeint: Mit $L:= [mm] \produkt_{i=1}^{n} I_i$ [/mm] und [mm] $M:=I_{n+1}$ [/mm] hat man zwei Ideale, die wieder die Eigenschaft $M+ L= R$ haben, denn oben wurde gezeigt, dass $1$ in dem Ideal $L+M$ enthalten ist.
Wie im Induktionsschritt gezeigt, gibt es jetzt ein $x$ - das jetzt aber [mm] $x_{n+1}$ [/mm] genannt wurde - mit [mm] $x_{n+1}\equiv [/mm] 1$ mod $L$ und [mm] $x_{n+1}\equiv [/mm] 0$ mod $M$ (die [mm] $a_{i}$ [/mm] von dort konnten ja beliebig gewaehlt werden).
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Hallöchen
> Es ist wohl so gemeint: Mit [mm]L:= \produkt_{i=1}^{n} I_i[/mm] und
> [mm]M:=I_{n+1}[/mm] hat man zwei Ideale, die wieder die Eigenschaft
> [mm]M+ L= R[/mm] haben, denn oben wurde gezeigt, dass [mm]1[/mm] in dem Ideal
> [mm]L+M[/mm] enthalten ist.
> Wie im Induktionsschritt gezeigt, gibt es jetzt ein [mm]x[/mm] -
> das jetzt aber [mm]x_{n+1}[/mm] genannt wurde - mit [mm]x_{n+1}\equiv 1[/mm]
> mod [mm]L[/mm] und [mm]x_{n+1}\equiv 0[/mm] mod [mm]M[/mm] (die [mm]a_{i}[/mm] von dort konnten
> ja beliebig gewaehlt werden).
ich muss gestehen ich verstehe, dass mit diesem [mm] x_{n+1} [/mm] immer noch nicht. :-( Ich bin ja nun gerade erst im Induktionsschritt also kann ich davon ja nix benutzen denn ich will ihn ja gerade zeigen. Ich verstehe einfach nicht wo dieses [mm] x_{n+1} [/mm] herkommt. Wenn ich nämlich die Voraussetzungen betrachte weiß ich nichts über ein x sondern nur über [mm] t_i [/mm] und [mm] s_i. [/mm] Ich wüsste nämlich nur [mm] s_1 +t_1=1.
[/mm]
Also [mm] s_1 \equiv [/mm] 1 mod [mm] I_{n+1} [/mm] und [mm] t_1 \equiv [/mm] 1 mod [mm] \produkt_{i=1}^{n} I_i [/mm] aber dieses Wissen ähnelt nun nicht wirklich der Darstellung von dem [mm] x_{n+1} [/mm] kannst du mir irgendwie erklären wo das herkommt?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 Do 19.01.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallöchen
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> > Es ist wohl so gemeint: Mit [mm]L:= \produkt_{i=1}^{n} I_i[/mm] und
> > [mm]M:=I_{n+1}[/mm] hat man zwei Ideale, die wieder die Eigenschaft
> > [mm]M+ L= R[/mm] haben, denn oben wurde gezeigt, dass [mm]1[/mm] in dem Ideal
> > [mm]L+M[/mm] enthalten ist.
> > Wie im Induktionsschritt gezeigt, gibt es jetzt ein [mm]x[/mm] -
> > das jetzt aber [mm]x_{n+1}[/mm] genannt wurde - mit [mm]x_{n+1}\equiv 1[/mm]
> > mod [mm]L[/mm] und [mm]x_{n+1}\equiv 0[/mm] mod [mm]M[/mm] (die [mm]a_{i}[/mm] von dort konnten
> > ja beliebig gewaehlt werden).
>
> ich muss gestehen ich verstehe, dass mit diesem [mm]x_{n+1}[/mm]
> immer noch nicht. :-( Ich bin ja nun gerade erst im
> Induktionsschritt also kann ich davon ja nix benutzen denn
> ich will ihn ja gerade zeigen. Ich verstehe einfach nicht
> wo dieses [mm]x_{n+1}[/mm] herkommt. Wenn ich nämlich die
> Voraussetzungen betrachte weiß ich nichts über ein x
> sondern nur über [mm]t_i[/mm] und [mm]s_i.[/mm] Ich wüsste nämlich nur [mm]s_1 +t_1=1.[/mm]
>
> Also [mm]s_1 \equiv[/mm] 1 mod [mm]I_{n+1}[/mm] und [mm]t_1 \equiv[/mm] 1 mod
> [mm]\produkt_{i=1}^{n} I_i[/mm] aber dieses Wissen ähnelt nun nicht
> wirklich der Darstellung von dem [mm]x_{n+1}[/mm] kannst du mir
> irgendwie erklären wo das herkommt?
>
> LG Schmetterfee
Im IA ($n=2$) wurde gezeigt: Hat man zwei Ideale $L,M$ von $R$ mit $L+M= R$ und zwei bel. [mm] $a,b\in [/mm] R$, so gibt es ein [mm] $x\in [/mm] R$ mit [mm] $x\eqiv [/mm] a$ mod $L$ und [mm] $x\equiv [/mm] b$ mod $M$.
In unserem IS waehlen wir speziell $a= 1$ und $b=0$ und bezeichnen das $x$ lediglich mit [mm] $x_{n+1}$. [/mm]
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Okay jetzt habe ich es auch verstanden. Dann geht der Beweis ja auch wieder weiter.
Wende dies auf alle i=1,...,n an und erhalte so [mm] x_i \in [/mm] R für i=1,...,n+1, so dass:
[mm] x_i \equiv [/mm] 1 mod [mm] I_i
[/mm]
[mm] \equiv [/mm] 0 mod [mm] I_j [/mm] für j [mm] \not= [/mm] i
Setze [mm] r=a_1x_1+...+a_{n+1} x_{n+1}
[/mm]
Ich bin mir nicht ganz sicher wie ich zum Schluss argumentieren kann. KAnn ich einfach sagen, dass wenn ich beispielsweise r mod [mm] I_1 [/mm] bertrachte, dass ich dann weiß:
r [mm] \equiv a_1 x_1 [/mm] mod [mm] I_1 \equiv a_1 [/mm] *1 mod [mm] I_1 \equiv a_1 [/mm] mod [mm] I_1 [/mm] wie im Satz gewünscht. aber das ist ja nur beispielhaft wie kann ich allgemein argumentieren, dass daraus das gewünschte folgt?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Do 19.01.2012 | | Autor: | hippias |
> Okay jetzt habe ich es auch verstanden. Dann geht der
> Beweis ja auch wieder weiter.
>
> Wende dies auf alle i=1,...,n an und erhalte so [mm]x_i \in[/mm] R
> für i=1,...,n+1, so dass:
> [mm]x_i \equiv[/mm] 1 mod [mm]I_i[/mm]
> [mm]\equiv[/mm] 0 mod [mm]I_j[/mm] für j [mm]\not=[/mm] i
> Setze [mm]r=a_1x_1+...+a_{n+1} x_{n+1}[/mm]
>
> Ich bin mir nicht ganz sicher wie ich zum Schluss
> argumentieren kann. KAnn ich einfach sagen, dass wenn ich
> beispielsweise r mod [mm]I_1[/mm] bertrachte, dass ich dann weiß:
> r [mm]\equiv a_1 x_1[/mm] mod [mm]I_1 \equiv a_1[/mm] *1 mod [mm]I_1 \equiv a_1[/mm]
> mod [mm]I_1[/mm] wie im Satz gewünscht. aber das ist ja nur
> beispielhaft wie kann ich allgemein argumentieren, dass
> daraus das gewünschte folgt?
>
> LG Schmetterfee
Meiner Meinung nach hast Du das alles schoen gemacht. Die einzige Verallgemeinerung, die ich hier fuer noetig erachten wuedre, waere einfach den Index $1$ durch den Index $i$ zu ersetzen und [mm] $i=1,\ldots, [/mm] n+1$ zu schreiben; neue Ueberlegungen sind dann aber nicht von Noeten.
Gut gemacht! Ich finde, Du hast den Beweis korrekt beendet. Aber frage ruhig, falls noch Unklarheiten geblieben sind.
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Okay dann habe ich das so weit verstanden.
LG Schmetterfee
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Hallöchen,
wirhatten in der Vorlesung noch einen konstruktiven Beweis betrachtet, bei dem sich mir auch wieder die Schlußargumentation nicht erschließt. Es heißt:
Setzte für i=1,...,r [mm] M_i= \produkt_{i \not=j} m_j.
[/mm]
Dann [mm] ggT(M_1,..., M_r)=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow 1=b_1 M_1+...+b_r M_r [/mm] mit [mm] b_i \in \IZ [/mm] und
[mm] e_i:= b_i M_i=\begin{cases} \equiv 1 , & \mbox{mod } m_i \\ \equiv 0, & \mbox{mod } m_j \mbox{ für} j\not= i \end{cases}
[/mm]
Dann x= [mm] \summe a_i e_i [/mm] löst x [mm] \equiv a_i [/mm] mod m:i für i=1,...,n
Ich glaube ich verstehe den Schluss nicht weil mir die Indizierung etwas wirr scheint. die Summe von x läuft doch für alle Fälle von i=1 bis i=r oder? Ich betrachte doch immer [mm] x=a_1 e_1+...+a_r e_r [/mm] oder? Ich weiß nur wieder nicht wie allgemein folgt, dass das x die Kongruenz löst. Für ein Beispiel würde ja auch wieder gelten bei [mm] m_1:
[/mm]
x [mm] \equiv a_1 e_1 [/mm] mod [mm] m_1 \eqiv a_1 [/mm] mod [mm] m_1,
[/mm]
wie gewünscht. ich weiß nur leider nicht wie man allgemein argumentiert. Kann mir, dass vielleicht noch jemand erklären?
LG Schmetterfee
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Hallöchen,
in meinem Skript befindet sich noch eine Argumentaion für den Fall R= [mm] \IZ. [/mm] ich bin mir nur nicht sicher ob das auch wirklich ein Beweis für den chinesischen Restsatz ist. Es heißt
Sei [mm] m=m_1 ...m_r [/mm] Dann ist m [mm] \IZ=m_1 \IZ \cap [/mm] ... [mm] \cap m_r \IZ
[/mm]
Für n=2: m [mm] \IZ \cap [/mm] n [mm] \IZ= [/mm] mn [mm] \IZ [/mm] mit (m,n)=1, d.h. m|a und n|a [mm] \Rightarrow [/mm] mn|a
Gilt das immer? Denn wir haben dies nicht explizit gezeigt und ich wüsste leider auch nicht wie.
In Verbindung mit dem Homomorphiesatz liefert das:
[mm] \overline{\phi}: \IZ/m \IZ \to \IZ/m_1 \IZ \times [/mm] ... [mm] \times \IZ/m_r \IZ [/mm] injektiv
Da aber #linke Seite =# rechte Seite folgt [mm] \overline{\phi} [/mm] ist bijektiv
Mir ist nicht klar was # sein soll.
Ist dies überhaupt ein Beweis für den chinesischen Restsatz oder was sagt diese Argumentation. Ich wäre über einen kleinen Hinweis sehr dankbar
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mo 23.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 23.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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