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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle x [mm] \in \IZ, [/mm] für die die folgenden Gleichungssysteme erfüllt sind:
(a)x=2 mod 4 (b) x= 5 mod 6
x=6 mod 7 3x=-1 mod 14
x=3 mod 9 |
Hi,
also die erste Aufgabe konnte ich lösen: $x [mm] \in [/mm] 174 + [mm] 252\IZ$
[/mm]
bei der (b) irritiert mich das "3x".
Durch probieren habe ich herausgefunden, dass man die zweite Kongruenz auch so schreiben kann:
x=9 mod 14
Gibt es da eine Methode, ohne einzeln alle Zahlen einzusetzen?
Nun, jetzt habe ich versucht, wie bei der (a), das Gleichungssystem mittels chinesischem Restsatz zu lösen:
$N=6 [mm] \cdot [/mm] 14 = 84$ [mm] \Rightarrow $N_1 [/mm] = 14 , [mm] N_2 [/mm] = 6$
Jetzt muss ich ja das Inverse von [mm] $\overline{14}=\overline{2}$ [/mm] in [mm] \IZ_6 [/mm] bzw das Inverse von [mm] \overline{6} [/mm] in [mm] \IZ_{14} [/mm] finden. Aber diese Elemente haben kein Inverses.
Wie verfahre ich nun weiter?
Danke für eure Hilfe
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Hallo MatheStudi7,
> Bestimmen Sie alle x [mm]\in \IZ,[/mm] für die die folgenden
> Gleichungssysteme erfüllt sind:
> (a)x=2 mod 4 (b) x= 5 mod 6
> x=6 mod 7 3x=-1 mod 14
> x=3 mod 9
> Hi,
>
> also die erste Aufgabe konnte ich lösen: [mm]x \in 174 + 252\IZ[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> bei der (b) irritiert mich das "3x".
> Durch probieren habe ich herausgefunden, dass man die
> zweite Kongruenz auch so schreiben kann:
> x=9 mod 14
> Gibt es da eine Methode, ohne einzeln alle Zahlen
> einzusetzen?
Nun, das ist der Fall, daß die Moduln
(hier: 6 und 14) nicht teilerfremd sind.
Wie Du hier vorgehst, siehe
![[]](/images/popup.gif) Chinesischer Restsatz - Allgemeiner Fall
>
> Nun, jetzt habe ich versucht, wie bei der (a), das
> Gleichungssystem mittels chinesischem Restsatz zu lösen:
> [mm]N=6 \cdot 14 = 84[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]N_1 = 14 , N_2 = 6[/mm]
>
> Jetzt muss ich ja das Inverse von
> [mm]\overline{14}=\overline{2}[/mm] in [mm]\IZ_6[/mm] bzw das Inverse von
> [mm]\overline{6}[/mm] in [mm]\IZ_{14}[/mm] finden. Aber diese Elemente haben
> kein Inverses.
> Wie verfahre ich nun weiter?
>
>
> Danke für eure Hilfe
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
danke für deine schnelle Antwort.
Also ich verstehe das Beispiel bei Wikipedia. Aber bei den fünf Kongruenzen, die dort "zusammengefasst" wurden, ist der Rest jeweils immer 1, also der gleiche.
Bei meiner Aufgabe habe ich ja verschiedene Reste (5 und 9).
Wie muss ich das da machen?
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Hallo MatheStudi7,
> Hallo MathePower,
>
> danke für deine schnelle Antwort.
> Also ich verstehe das Beispiel bei Wikipedia. Aber bei den
> fünf Kongruenzen, die dort "zusammengefasst" wurden, ist
> der Rest jeweils immer 1, also der gleiche.
> Bei meiner Aufgabe habe ich ja verschiedene Reste (5 und
> 9).
> Wie muss ich das da machen?
Löse z.B die Konguenz
[mm]x \equiv 5 \ \operatorname{mod} \ 6[/mm]
Setze diese Lösung [mm]x=6*k+x_{0}[/mm]
( [mm]x_{0}[/mm] erfüllt die obige Kongruenz )
in die Kongruenz
[mm]x \equiv 9 \ \operatorname{mod} \ 14[/mm]
ein und bestimme wiederum dessen Lösung.
Gruss
MathePower
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