Chinesischer Restsatz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Sa 05.04.2008 | | Autor: | DaMazen |
| Aufgabe | | Beweise den Chinesischen Restsatz |
Moin, also in meinen Notizen habe ich dazu folgendes gefunden
1. Teilaussage:
Sei a,b [mm] \in \IZ [/mm] und m,n [mm] \in \IN [/mm] und der ggT (m,n) = 1
Beh.: Es gibt eine Simultanlösung für
x [mm] \equiv [/mm] a (m)
x [mm] \equiv [/mm] b (n)
Bew: Sei oBdA [mm] 0\lea
Die Zahlen a, m+a, 2m+a,......,(n-1)m+a (vollständiges Restsystem mod. n)
(Frage: Warum ist das so? Wenn ich mir das mit einem Beispiel aufschreibe stimmt es immer, aber warum muss es genau so sein?)
Es gibt daher in diesem System eine Zahl x = km+a, so dass [mm] x\equiv [/mm] b (n)
[mm] x=km+a\equiva(m)
[/mm]
[mm] x\equivb [/mm] (m)
Ich hätte also einmal die Frage im Text und die Frage: Ich habe mir ja aufgeschrieben, 1. Teilaussage, gibt es noch eine 2.?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Sa 05.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Beweise den Chinesischen Restsatz
> Moin, also in meinen Notizen habe ich dazu folgendes
> gefunden
>
> 1. Teilaussage:
>
> Sei a,b [mm]\in \IZ[/mm] und m,n [mm]\in \IN[/mm] und der ggT (m,n) = 1
>
> Beh.: Es gibt eine Simultanlösung für
>
> x [mm]\equiv[/mm] a (m)
> x [mm]\equiv[/mm] b (n)
>
> Bew: Sei oBdA [mm]0\lea
>
> Die Zahlen a, m+a, 2m+a,......,(n-1)m+a (vollständiges
> Restsystem mod. n)
>
> (Frage: Warum ist das so? Wenn ich mir das mit einem
> Beispiel aufschreibe stimmt es immer, aber warum muss es
> genau so sein?)
>
Angenommen, es wäre nicht so. Dann gibt es zwei Zahlen a+cm und a+dm (mit [mm] c\in \IN, d\in \IN, [/mm] 0<c<m und 0<d<m und [mm] c\ne [/mm] d), die den gleichen Rest mod n lassen. Dann ist aber die Differenz (a+dm)-(a+cm)=(d-c)m durch n teilbar. Die Differenz (d-c) kann nicht durch n teilbar sein, weil sie zwischen 0 und n liegt.
Also gilt n|m, das ist aber ein Widerspruch zu ggT(m,n)=1.
Viele Grüße
Abakus
> Es gibt daher in diesem System eine Zahl x = km+a, so dass
> [mm]x\equiv[/mm] b (n)
>
> [mm]x=km+a\equiva(m)[/mm]
> [mm]x\equivb[/mm] (m)
>
> Ich hätte also einmal die Frage im Text und die Frage: Ich
> habe mir ja aufgeschrieben, 1. Teilaussage, gibt es noch
> eine 2.?
>
> Vielen Dank
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:36 Sa 05.04.2008 | | Autor: | DaMazen |
Das klingt gut. Danke.
Reicht denn dann der Beweis, damit der Chinesische Restsatz bewiesenist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 07.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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