Chebyshev-Ungleichung < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 So 11.12.2011 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | | Wie oft muss man eine faire Münze werfen, wenn man sich sicher sein will, dass die relative Häufigkeit für "Zahl" mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,95 zwischen 0,48 und 0,52 liegt? |
ehrlich: ich hab keine Ahnung!
Es schreit nach Chebyshev-Ungleichung, aber die versteh ich leider nicht, bzw. kann sie nicht anwenden.
wir haben die wie folgt definiert:
[mm]P \left( |X - E(X)| \ge c \right) \le \bruch{Var (X)}{c^2}[/mm]
[mm]P \left( |X - E(X)| \ge c \right)[/mm] gibt also die Wahrscheinlichkeit an, dass Ausprägungen (?) einer Zufallsvariable außerhalb eines Intervalls [E(X)-c , E(X)+c] liegt. oder?
hier ist ja genau nach dem Gegenteil gefragt.
Ich versuch mal zuzuordnen:
c=0,2
[mm]P \left( |X - E(X)| \ge c \right) = 1 - 0,95 = 0,05[/mm]
dann muss ich den Münzwurf irgendwie modellieren.
0: Kopf, 1:Zahl
P(X=0)=0,5=P(X=1)
E(X)=0,5*1 + 0,5*0=0,5
[mm]Var(X)=E(X^2)-E(X)^2[/mm] hä?
Was ist denn [mm]E(X^2)[/mm]?
irgendwie muss ich ja auch noch "n" als Unbekannte Anzahl der Münzwürfe mit einbringen oder??
Ich versteh das nicht. Das kann doch nicht stimmen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 So 11.12.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
wende die CU an auf die Zufallsvariable $X=$ relative Häufigkeit für "Zahl". Dafuer brauchst du [mm] $\operatorname{E}[X]$ [/mm] und [mm] $\operatorname{Var}[X]$ [/mm] ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Di 13.12.2011 | | Autor: | ella87 |
Der Münzwurf ist ein Bernoulli-Experiment, also gilt:
[mm]E(X)=n*p=0,5n[/mm] und [mm] Var(X)=n*p*q=0,25n[/mm]
aber ich bekomme die Ungleichung nicht gebaut!
was ist denn mein c?
die Aufgabe sagt: "die relative Häufigkeit für Zahl soll mit einer W-keit von mindesens 0,95 zweischen 0,48 und 0,52 liegen"
das c bezieht sich doch auf die 0,02. aber ich brauche nicht die relative Häufigkeit, sondern die absolute, oder?
dann wäre [mm]c=0,02*n[/mm]
Dann habe ich:
[mm]P(|x-E(X)|\ge c) \le \bruch{Var(X)}{c^2 } = 0,05[/mm]
dann komme ich mit
[mm]\bruch{0,25n}{(0,02n)^2 }=0,05 [/mm] auf [mm] n = 12500[/mm]
stimmt das?
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> Der Münzwurf ist ein Bernoulli-Experiment, also gilt:
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> [mm]E(X)=n*p=0,5n[/mm] und [mm]Var(X)=n*p*q=0,25n[/mm]
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> aber ich bekomme die Ungleichung nicht gebaut!
>
> was ist denn mein c?
> die Aufgabe sagt: "die relative Häufigkeit für Zahl soll
> mit einer W-keit von mindesens 0,95 zweischen 0,48 und 0,52
> liegen"
>
> das c bezieht sich doch auf die 0,02. aber ich brauche
> nicht die relative Häufigkeit, sondern die absolute,
> oder?
> dann wäre [mm]c=0,02*n[/mm]
>
> Dann habe ich:
>
> [mm]P(|x-E(X)|\ge c) \le \bruch{Var(X)}{c^2 } = 0,05[/mm]
>
> dann komme ich mit
> [mm]\bruch{0,25n}{(0,02n)^2 }=0,05[/mm] auf [mm]n = 12500[/mm]
>
> stimmt das?
Hallo Ella,
ich bin gerade auf dasselbe Ergebnis gekommen.
LG
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Hallo ella87,
deine Rechnung mit der Tschebyschew - Ungleichung war
zwar richtig, aber dem sollte man noch anfügen, dass das
Ergebnis eben trotzdem ziemlich schlecht ist.
Durch eine Rechnung mit der Binomialverteilung (das ist
zwar nicht so einfach) oder mittels Approximation durch
die Normalverteilung (nicht schwierig) erhält man ein
viel besseres Ergebnis.
Effektiv reichen viel weniger als 12500 Würfe auch schon
aus, um die geforderte Wahrscheinlichkeit zu erreichen.
LG Al-Chw.
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