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| Aufgabe | Eine unfaire Münze fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 1=3 auf Kopf und mit einer Wahrscheinlichkeit von 2=3 auf Zahl. Bestimmen Sie obere Schranken für die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze von
n Würfen mehr als die Hälfte Mal Kopf zeigt; einmal mit Hilfe der Chebychev-Ungleichung und einmal
mit Hilfe der Chernov-Ungleichung. |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich stehe bei dieser Aufgabe ziemlich auf dem Schlauch. Ich kenne die Chebychev-Ungleichung und habe mir bis jetzt überlegt, dass meine Zufallsgröße X binomialverteilt ist.
Für Kopf ist die Wsl. 1/3, weswegen ich zu einem Erwartungswert von E[x] = 1/3n und einer Var[x]=2/9n komme. Ist das überhaupt die richtige Herangehensweise?
Nun stehe ich vor meinem Hauptproblem - dem Anwenden der Formel. Mehr als die Hälfte mal - heißt das, ich muss für mein t 51% wählen?
Danke im Vorraus für eure Hilfe!
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> Für Kopf ist die Wsl. 1/3, weswegen ich zu einem
> Erwartungswert von E[x] = 1/3n und einer Var[x]=2/9n komme.
Meinst du E[x] = 1/(3*n) oder E[x] = n*1/3?
Ja, zunächst sollte man sich überlegen was der Erwartunsgwert und was die Varianz ist.
Betrachtet man die Häufigkeit [mm] H_n=\summe_{i=1}^{n}X_i [/mm] mit der Zufallsvariable X(Kopf)=1 und X(Zahl)=0, dann ist [mm] H_n/n [/mm] die relative Häufigkeit und p=1/3 gerade deren Erwartungswert. Die Varianz der relativen Häufigkeit ergibt p*(1-p)/n. Wenn nun die Münze bei mehr als n/2 Würfen Kopf zeigt bedeutet das dass die Relative Häufigkeit [mm] \ge [/mm] 1/2 ist.
Folglich [mm] |H_n/n- E[H_n/n]|=|H_n/n- 1/3|\ge [/mm] 1/6
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Zuerst einmal DANKE für die Antwort!!
> Ja, zunächst sollte man sich überlegen was der
> Erwartunsgwert und was die Varianz ist.
Ich meinte (1/3)*n. Sind meine Überlegungen zu Erwartungswert und Varianz richtig?
> Betrachtet man die Häufigkeit [mm]H_n=\summe_{i=1}^{n}X_i[/mm] mit
> der Zufallsvariable X(Kopf)=1 und X(Zahl)=0, dann ist [mm]H_n/n[/mm]
> die relative Häufigkeit und p=1/3 gerade deren
> Erwartungswert. Die Varianz der relativen Häufigkeit
> ergibt p*(1-p)/n.
Wieso muss man die relative Häufigkeit betrachten? Welche Rückschlüsse lässt diese zu?
Wenn nun die Münze bei mehr als n/2
> Würfen Kopf zeigt bedeutet das dass die Relative
> Häufigkeit [mm]\ge[/mm] 1/2 ist.
> Folglich [mm]|H_n/n- E[H_n/n]|=|H_n/n- 1/3|\ge[/mm] 1/6
Das ging mir zu schnell. Wieso setzt du in die Formel jetzt die Häufigkeiten ein? Kann überhaupt ein konkreter Wert dadurch berechnet werden? Wie kommst du auf 1/6?
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> Ich meinte (1/3)*n. Sind meine Überlegungen zu
> Erwartungswert und Varianz richtig?
Ja sind sie, wie luis52 schon geschrieben hat.
> Wieso muss man die relative Häufigkeit betrachten? Welche
> Rückschlüsse lässt diese zu?
Nein, das muss man nicht. Man kann auch analog mit der Häufigkeit rechnen. Ich finde die relative Häufigkeit aber anschaulicher.
> Das ging mir zu schnell. Wieso setzt du in die Formel jetzt
> die Häufigkeiten ein? Kann überhaupt ein konkreter Wert
> dadurch berechnet werden? Wie kommst du auf 1/6?
Also mal Schritt für Schritt:
[mm] \bruch{H_n}{n}\ge \bruch{1}{2} \Rightarrow |\bruch{H_n}{n}-\bruch{1}{3}| \ge |\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}|=\bruch{1}{6}
[/mm]
Mit der Tschebyscheff-Ungleichung kannst du nun die obere Schranke berechnen.
[mm] P(|\bruch{H_n}{n}-\bruch{1}{3}|\ge\bruch{1}{6})\le \bruch{Var(x)}{1/36}=\bruch{p*(1-p)}{1/36*n}
[/mm]
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> Eine unfaire Münze fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von
> 1/3 auf Kopf und mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 auf
> Zahl. Bestimmen Sie obere Schranken für die
> Wahrscheinlichkeit, dass die Münze von
> n Würfen mehr als die Hälfte Mal Kopf zeigt;
> ......
Nur zur Formulierung der Aufgabe:
So wie ich das verstehe, zeigt eine geworfene Münze "Zahl",
wenn sie auf "Kopf" gefallen ist, und umgekehrt !
Oder: das sprichwörtliche Butterbrot "zeigt" die Brotseite,
wenn es auf die Butterseite gefallen ist ... 
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Mo 07.01.2013 | | Autor: | luis52 |
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> Ich stehe bei dieser Aufgabe ziemlich auf dem Schlauch. Ich
> kenne die Chebychev-Ungleichung und habe mir bis jetzt
> überlegt, dass meine Zufallsgröße X binomialverteilt
> ist.
> Für Kopf ist die Wsl. 1/3, weswegen ich zu einem
> Erwartungswert von E[x] = 1/3n und einer Var[x]=2/9n komme.
Mit der Notation von ahnungsloser86 ist
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") [mm] $\operatorname{E}[H_n]=\frac{n}{3}$, $\operatorname{Var}[H_n]=\frac{2n}{9}$
[/mm]
> Ist das überhaupt die richtige Herangehensweise
Ja.
> Nun stehe ich vor meinem Hauptproblem - dem Anwenden der
> Formel. Mehr als die Hälfte mal - heißt das, ich muss
> für mein t 51% wählen?
Es sind Aussagen ueber [mm] $P(H_n>n/2)$ [/mm] zu treffen. (Man muss nicht mit der relativen Haeufigkeit [mm] $H_n/n$ [/mm] argumentieren.)
vg Luis
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