Charakteristisches Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 So 04.02.2007 | | Autor: | Ron85 |
Hi Leute.
Sei A [mm] \in \IR^{nx} [/mm] invertierbar
Kann mir jemand sagen, wie sich die Koeffizienten des Charakteristischen Polynoms von [mm] A^{-1} [/mm] aus den Koeffizienten des Charakteristischen Polynoms von A ergeben?
Kann mir jemand helfen?
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Es seien [mm]\varphi,\psi[/mm] die charakteristischen Polynome von [mm]A[/mm] bzw. [mm]A^{-1}[/mm]. Mit [mm]E[/mm] als [mm]n[/mm]-ter Einheitsmatrix gilt also
[mm]\varphi(x) = \left| A - xE \right|[/mm]
[mm]\psi(x) = \left| A^{-1} - xE \right| = \left| -x A^{-1} \left( A - \frac{1}{x} E \right) \right| = |A|^{-1} (-x)^n \, \varphi \left( \frac{1}{x} \right)[/mm]
Jetzt übersetze diese Beziehung in eine zwischen den Koeffizienten von [mm]\varphi[/mm] und [mm]\psi[/mm].
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