Charakteristik, Wellengl. < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Mi 26.10.2011 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | 1) (nicht eindeutig lösbare) DGL [mm] (\partial_x u(x,y))^2-y(\partial_y u(x,y))^2=0 [/mm] für [mm] (x,y)\in \IR_{\geq 0}\times \IR_{\geq 0}.
[/mm]
a) Berechnen sie die zugehörigen charakteristischen Richtungen.
b) Geben sie eine nicht triviale Lösung der DGL an.
2) u [mm] \in C^2(\IR \times [/mm] ]0, [mm] \infty[), [/mm] x [mm] \tau \in C^1(\IR \times [/mm] ]0, [mm] \infty[). [/mm] zeigen sie dass die nichtlineare wellengleichung [mm] \partial_t^2u-\partial_xp(\partial_xu)=0 [/mm] äquivalent zum p-System
[mm] \partial_t \tau-\partial_xv=0
[/mm]
[mm] \partial_t v-\partial_x p(\tau)=0
[/mm]
ist. |
sooo, ich komm bei beiden aufgaben nicht weiter und hoffe, dass hier jemand nen Tipp für mich hat.
zu 1)
also ich weiß nicht wie ich die dgl auf die Form bekomme, so dass ich diese charakteristiken methode anwenden kann, was mich stört sind die quadrate, kann ich da nicht einfach die wurzel ziehen?
2) äquivalent bedeutet hier doch, dass beide Gleichungen diesele Lösung haben oder? ich weiß irgendwie nicht so genau, was [mm] \partial_xp(\partial_x [/mm] u) ist, das p hängt doch nicht explizit von x ab oder? als tipp haben wir noch: satz von schwarz und hauptsatz der integral- und differentialrechnung.
Ich hoffe jemand hat dazu nen Tipp für mich. Das wäre super, viele grüße.
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Hallo aly19,
> 1) (nicht eindeutig lösbare) DGL [mm](\partial_x u(x,y))^2-y(\partial_y u(x,y))^2=0[/mm]
> für [mm](x,y)\in \IR_{\geq 0}\times \IR_{\geq 0}.[/mm]
> a)
> Berechnen sie die zugehörigen charakteristischen
> Richtungen.
> b) Geben sie eine nicht triviale Lösung der DGL an.
>
> 2) u [mm]\in C^2(\IR \times[/mm] ]0, [mm]\infty[),[/mm] x [mm]\tau \in C^1(\IR \times[/mm]
> ]0, [mm]\infty[).[/mm] zeigen sie dass die nichtlineare
> wellengleichung [mm]\partial_t^2u-\partial_xp(\partial_xu)=0[/mm]
> äquivalent zum p-System
> [mm]\partial_t \tau-\partial_xv=0[/mm]
> [mm]\partial_t v-\partial_x p(\tau)=0[/mm]
>
> ist.
> sooo, ich komm bei beiden aufgaben nicht weiter und hoffe,
> dass hier jemand nen Tipp für mich hat.
> zu 1)
> also ich weiß nicht wie ich die dgl auf die Form bekomme,
> so dass ich diese charakteristiken methode anwenden kann,
> was mich stört sind die quadrate, kann ich da nicht
> einfach die wurzel ziehen?
Nein.
Zerlege die gegebene DGL in ein Produkt aus 2 Faktoren.
Stichwort: 3. Binomische Formel.
> 2) äquivalent bedeutet hier doch, dass beide Gleichungen
> diesele Lösung haben oder? ich weiß irgendwie nicht so
> genau, was [mm]\partial_xp(\partial_x[/mm] u) ist, das p hängt doch
> nicht explizit von x ab oder? als tipp haben wir noch: satz
> von schwarz und hauptsatz der integral- und
> differentialrechnung.
> Ich hoffe jemand hat dazu nen Tipp für mich. Das wäre
> super, viele grüße.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Mi 26.10.2011 | | Autor: | aly19 |
danke für die schnelle antwort :)
okay dann bekomme ich:
[mm] (\partial_xu(x,y)+\wurzel{y}\partial_yu(x,y))(\partial_x u(x,y)-\wurzel{y}\partial_yu(x,y))=0
[/mm]
also muss einer der Faktoren Null werden, kann ich die dann gertennt betrachten?
also zunächst den Fall:
[mm] \partial_xu(x,y)+\wurzel{y}\partial_yu(x,y)=0??
[/mm]
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Hallo aly19,
> danke für die schnelle antwort :)
> okay dann bekomme ich:
> [mm](\partial_xu(x,y)+\wurzel{y}\partial_yu(x,y))(\partial_x u(x,y)-\wurzel{y}\partial_yu(x,y))=0[/mm]
>
> also muss einer der Faktoren Null werden, kann ich die dann
> gertennt betrachten?
> also zunächst den Fall:
> [mm]\partial_xu(x,y)+\wurzel{y}\partial_yu(x,y)=0??[/mm]
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Mi 26.10.2011 | | Autor: | aly19 |
also ich hab das jetzt mal gemacht und würde dann als charakteristik bekommen, [mm] \gamma(t)=(t,(\pm t/2+C)^2) [/mm] kann das stimmen? die konstante muss doch noch drinstehen weil kein anfangswert gegeben ist oder? wäre super wenn das nochmal jemand angucken kann. viele grüßee
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Hallo aly19,
> also ich hab das jetzt mal gemacht und würde dann als
> charakteristik bekommen, [mm]\gamma(t)=(t,(\pm t/2+C)^2)[/mm] kann
> das stimmen? die konstante muss doch noch drinstehen weil
> kein anfangswert gegeben ist oder? wäre super wenn das
> nochmal jemand angucken kann. viele grüßee
Ja, das stimmt.
Gruss
MathePower
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Hallo,
> 1) (nicht eindeutig lösbare) DGL [mm](\partial_x u(x,y))^2-y(\partial_y u(x,y))^2=0[/mm]
> für [mm](x,y)\in \IR_{\geq 0}\times \IR_{\geq 0}.[/mm]
> a)
> Berechnen sie die zugehörigen charakteristischen
> Richtungen.
> b) Geben sie eine nicht triviale Lösung der DGL an.
>
> 2) u [mm]\in C^2(\IR \times[/mm] ]0, [mm]\infty[),[/mm] x [mm]\tau \in C^1(\IR \times[/mm]
> ]0, [mm]\infty[).[/mm] zeigen sie dass die nichtlineare
> wellengleichung [mm]\partial_t^2u-\partial_xp(\partial_xu)=0[/mm]
> äquivalent zum p-System
> [mm]\partial_t \tau-\partial_xv=0[/mm]
> [mm]\partial_t v-\partial_x p(\tau)=0[/mm]
>
> ist.
> sooo, ich komm bei beiden aufgaben nicht weiter und hoffe,
> dass hier jemand nen Tipp für mich hat.
> zu 1)
> also ich weiß nicht wie ich die dgl auf die Form bekomme,
> so dass ich diese charakteristiken methode anwenden kann,
> was mich stört sind die quadrate, kann ich da nicht
> einfach die wurzel ziehen?
> 2) äquivalent bedeutet hier doch, dass beide Gleichungen
> diesele Lösung haben oder? ich weiß irgendwie nicht so
> genau, was [mm]\partial_xp(\partial_x[/mm] u) ist, das p hängt doch
> nicht explizit von x ab oder? als tipp haben wir noch: satz
> von schwarz und hauptsatz der integral- und
> differentialrechnung.
> Ich hoffe jemand hat dazu nen Tipp für mich. Das wäre
> super, viele grüße.
Nun, zuerst mal ist es zweckmässig
[mm] $v=\partial_t [/mm] u$ und
[mm] $\tau=\partial_x [/mm] u$
zu setzen, um von der ausgangsgleichung auf die zweite der Gleichungen im p-System zu kommen. Wieso gilt dann die erste der Gleichungen automatisch?
Gruss
Matthias
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