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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Di 23.02.2010 | | Autor: | Sakina |
eine Verständnis- oder auch Wissensfrage, die bei mir während dem Lernen für die Klausur aufkam:
Soweit ich weiß, ist die Charakteristik stets entweder eine Primzahl oder 0.
Ich weiß auch: Wenn keine Anmerkungen darüber sind, dann ist die Charakteristik = 0. Warum?
Was die Charakteristik bedeutet und wie das ganze aussieht, weiß ich bei allen Charakteristika, nur wie soll das denn bei der 0 sein? Ein Körper hat doch laut Definition mindestens 2 Elemente {0,1}. wie kann dann die Charakteristik 0 sein und was genau bedeutet das?
und: Warum werden nur Primzahlen als Charakteristik verwendet und nicht bspweise 4 ? Was gäbe es für Folgen?
Wäre dankbar, wenn mir jemand helfen könnte,
LG
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Hallo Sakina,
> eine Verständnis- oder auch Wissensfrage, die bei mir
> während dem Lernen für die Klausur aufkam:
>
> Soweit ich weiß, ist die Charakteristik eines Körpers K stets entweder
> eine Primzahl oder 0. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich weiß auch: Wenn keine Anmerkungen darüber sind, dann
> ist die Charakteristik = 0. Warum?
Das ist einfach ne Festlegung ...
Die "normalen" Körper, mit denen man meinst rumhantiert, sind ja [mm] $\IQ,\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$, [/mm] die haben alle Charakteristik 0$
>
> Was die Charakteristik bedeutet und wie das ganze aussieht,
> weiß ich bei allen Charakteristika, nur wie soll das denn
> bei der 0 sein? Ein Körper hat doch laut Definition
> mindestens 2 Elemente {0,1}. wie kann dann die
> Charakteristik 0 sein und was genau bedeutet das?
Naja, die Charakteristik ist ja die kleinste natürliche Zahl $n$ (also $n>0$) mit [mm] $n\cdot{}1=0$. [/mm] Gibt es eine solche Zahl nicht, setzt man Char.=0
Also ist im Körper mit 2 Elementen die Char. nicht 0, sondern 2, denn
[mm] $2\cdot{}1=2=0$ [/mm] in diesem Körper
>
> und: Warum werden nur Primzahlen als Charakteristik
> verwendet und nicht bspweise 4 ? Was gäbe es für Folgen?
Das geht nicht.
Nimm mal an, ein Körper K hätte eine Char. [mm] $p\neq [/mm] 0$ und $p$ nicht prim.
Dann ist [mm] $p\cdot{}1=0$ [/mm] mit $p$ minimal
Da $p$ nicht prim ist, kannst du schreiben [mm] $p=a\cdot{}b$ [/mm] mit $0<a,b<p$
Damit [mm] $0=p\cdot{}1=(a\cdot{}b)\cdot{}1=(a\cdot{}1)\cdot{}(b\cdot{}1)$
[/mm]
Da Körper nullteilerfrei sind, folgt:
[mm] $a\cdot{}1=0$ [/mm] oder [mm] $b\cdot{}1=0$
[/mm]
Das ist aber ein Widerspruch zur Minimalität von p (a und b sind ja echt kleiner als p)
Also muss p prim sein
>
> Wäre dankbar, wenn mir jemand helfen könnte,
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Di 23.02.2010 | | Autor: | Sakina |
> Naja, die Charakteristik ist ja die kleinste natürliche
> Zahl [mm]n[/mm] (also [mm]n>0[/mm]) mit [mm]n\cdot{}1=0[/mm]. Gibt es eine solche Zahl
> nicht, setzt man Char.=0
>
> Also ist im Körper mit 2 Elementen die Char. nicht 0,
> sondern 2, denn
>
> [mm]2\cdot{}1=2=0[/mm] in diesem Körper
>
hmm jap das mit dem Charakteristik ab 2 ist soweit klar.
Also, wenn ich das mit der 0 nun auch richtig verstanden habe, ist das dann auch einfach nur eine Festlegung, dass wenn Charakteristik nicht größer oder gleich 2 ist, so ist die Charakteristik = 0 ? - und damit hätten wir diesen normalen Körper, wie wir schon immer damit gerechnet haben?
Also hat die 0 als Zahl an sich keine Große Auswirkung auf die Benutzung? Sondern ist einfach nur eine Art Definition, für Körper "ohne" Charakteristik?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Di 23.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> hmm jap das mit dem Charakteristik ab 2 ist soweit klar.
> Also, wenn ich das mit der 0 nun auch richtig verstanden
> habe, ist das dann auch einfach nur eine Festlegung, dass
> wenn Charakteristik nicht größer oder gleich 2 ist, so
> ist die Charakteristik = 0 ?
Ja.
> - und damit hätten wir diesen
> normalen Körper, wie wir schon immer damit gerechnet
> haben?
Nein, es gibt viele anormale Körper, die Char 0 haben.
> Also hat die 0 als Zahl an sich keine Große Auswirkung
> auf die Benutzung? Sondern ist einfach nur eine Art
> Definition, für Körper "ohne" Charakteristik?
Wenn man die richtige Definition nutzt, nicht: sie K dein Körper, dann betrachte [m]i:\IZ\to K,n\mapsto n*1 [/m]. Dann gibt es eine nicht negative Zahl k mit [m]Ker(i)=k*\IZ[/m]. Definiere nun k als die Char. des Körpers und du bist fertig.
SEcki
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