Charakterisierung von Nullmeng < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:22 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Damasus |
| Aufgabe | Für jeden halboffnen Quader Q in [mm]\IR^{n}[/mm] existieren endlich viele Würfel [mm]W_1,...,W_k[/mm] in [mm]\IR^{n}[/mm] mit
[mm]Q\subset \bigcup_{j=1}^{k}W_{j}[/mm] und [mm]\summe_{j=1}^{k}\mu_{n}(W_{j}) \le 2^{n}\mu_{n}(Q)[/mm]. |
Hallo erstmal an Alle, bin noch neu und hoffe, dass ich mich nicht all zu doof anstelle^^
Also bei der Aufgabe, häng ich schon ein ganzes Weilchen. Ich bin nun zu dem Entschluss gekommen, dass ich mir erstmal ne Taktik überlege für n=2 und diese dann auf beliebige Dimensionen verallgemeinere.
Für n=2 erhalten ich ja folgende Behauptung
[mm]Q\subset \bigcup_{j=1}^{k}W_{j}[/mm] und [mm]\summe_{j=1}^{k}\mu_{n}(W_j) \le 2^{2}\mu_{n}(Q)[/mm].
Nun ja [mm]Q\subset \bigcup_{j=1}^{k}W_{j}[/mm] finde ich klar, denn man findet doch auf jeden Fall endlich viele Würfel die Q überdecken (grad im 2-Dimensionalen Raum kann man sich das ja gut vorstellen).
Aber die 2. Aussage: ich kann doch meine Würfel so groß machen, dann mein [mm]\mu_n(W_j)>4\mu_n(Q)[/mm] oder liege ich da falsch?
Würde mich über Beiträge freuen =) Danke schon mal im vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Huhu,
> ich kann doch meine Würfel so groß machen, dann mein $ [mm] \mu_n(W_j)>4\mu_n(Q) [/mm] $ oder liege ich da falsch?
wenn das deine einzige Frage ist: Natürlich kannst du das, das ist ja aber auch nicht die Aussage, dass du das nicht kannst.
Die Aussage ist, es GIBT solche Würfel, so dass das gilt, nicht, dass es für ALLE Überdeckungen gilt, d.h. es ist eine reine Existenzaussage!
Auch für deine Aussage gilt natürlich, es GIBT solche Würfel, aber es gilt nicht für alle 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Damasus |
aso verstehe. ok, dass es solche gibt ist erstmal auch logisch. Wenn du vielleich noch einen Ansatz hast, wie ich da vorgehen kann, dann wäre ich dankbar. Also am Besten für n=2, dann versuch ich das zu verallgemeinern.
für n=2
Also ich würde so anfangen: Q ist ein halboffener Quader in [mm] \IR^{2} [/mm] diese Teilmenge ist abzählbar [mm] \Rightarrow [/mm] Q ist Nullmenge [mm] \Rightarrow [/mm] es existiert eine offene Überdeckung mit höchstens abzählbar endlich vielen Würfeln die Q überdecken (und die Summe der Volumina dieser Würfel ist kleiner als [mm] \varepsilon. [/mm] damit wäre doch das 1. erfüllt oder?
Würde erstmal dazu gerne eine Antwort, bevor ich mir das 2. anschaue^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Mi 20.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Hä? Wieso ist denn ein halboffener Quader abzählbar?
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Damasus |
Hmm war klar, dass die Frage kommt. Naja, ich versuch den Zusammenhang zum Thema Nullmengen herzustellen. Natürlich ist es nicht i.A. das halboffene Quader abzählbar sind.
Aber ich sehe einfach nichts, aus dem ich was lesen könnte.
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> Hmm war klar, dass die Frage kommt. Naja, ich versuch den
> Zusammenhang zum Thema Nullmengen herzustellen.
Wozu? Wo steht in der Aufgabe was mit Nullmengen?
Erkläre doch mal in Worten, was du überhaupt zeigen sollst...... da steht nämlich nix von Nullmengen oder [mm] \varepsilon [/mm] oder oder oder.....
MFG,
Gono.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 09:08 Do 21.01.2010 | | Autor: | Damasus |
Also in Worten steht doch da:
1) Ich finde eine Überdeckung mit endlich vielen Würfeln die diesen halboffenen Qader überdecken.
2)Das Volumen aller Würfel ist kleiner als das Maß des Quaders mal einem gewissen Faktor.
So ist es doch oder?
Ich finde beide Aussagen logisch und daher fällt es mir schwer es zu zeigen. z.B. im n=2: Stell ich mir ein halboffenes Rechteck vor. So jetzt kann ich ja z.B. 4 Quadrate nehmen die das Rechteck überdecken.
und diese Quadrate können so gewählt sein, dass die 2 Bedingung auch erfüllt ist. Nur wie zeige ich das Mathematisch.
Grüßli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:28 Do 21.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also in Worten steht doch da:
> 1) Ich finde eine Überdeckung mit endlich vielen Würfeln
> die diesen halboffenen Qader überdecken.
>
> 2)Das Volumen aller Würfel ist kleiner als das Maß des
> Quaders mal einem gewissen Faktor.
>
> So ist es doch oder?
Ja.
> Ich finde beide Aussagen logisch und daher fällt es mir
> schwer es zu zeigen. z.B. im n=2: Stell ich mir ein
> halboffenes Rechteck vor. So jetzt kann ich ja z.B. 4
> Quadrate nehmen die das Rechteck überdecken.
Aha, immer mit der Bedingung? Ich gebe mal folgenden Quader vor: er fängt im Nullpunkt an, die Länge auf der x-Achse ist [m]10.000[/m], die Höhe auf der y-Achse ist [m]\bruch{1}{10.000}[/m]. Welche 4 Quader überdecken diesen halboffene Quader, sodass die Summe der 4 Würfel < 4 ist?
> und diese Quadrate können so gewählt sein, dass die 2
> Bedingung auch erfüllt ist. Nur wie zeige ich das
> Mathematisch.
Im Wesnetlichen musst du die Längen, Höhen etc pp durch eine sehr große Zahl im Vergleich zu diesen Größen teilen, dann fängst du in einer Ecke des Quaders an, diesen Quader mit Würfeln auszupflastern, dann gibt es etwas Verschnitt. In Wahrheit kannst du das immer so machen, dass das Volumen beliebig nahe an das des Quaders rankommt.
SEcki
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(Frage) überfällig | | Datum: | 10:08 Do 21.01.2010 | | Autor: | Damasus |
ok, also könnte ich vielleich so ansetzen (für die 1. Bedingung).
Immernoch in n=2
Sei a die Länge des Quaders und b die Höhe des Quaders Q.
Seien [mm]W_1,W_2...W_k[/mm] die Quadrate die Q überdecken sollen und deren Längesumme der Intervalle: [mm]\summe_{k=1}^{\infty}|I_{nk}|\le\bruch{\varepsilon}{2^{n}}[/mm]ist.
Diese Intervalle sind ja höchstens abzählbar viele Intervallen [mm] I_{nk} [/mm] überecken ja das Rechteck.
ist der Ansatz viel versprechend?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Sa 23.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Sa 23.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Fr 22.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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