Cebysev-Ungl./Normalapproximat < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Mi 27.12.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | Bei einer Werbeaktion eines Versandhauses sollen die ersten 1000 Einsender einer Bestellung eine Damen- bzw. Herrenarmbanduhr als Geschenk erhalten. Nehmen Sie an, dass sich beide Geschlechter gleichermaßen von dem Angebot angesprochen fühlen. Wie viele Damen- bzw. Herrenarmbanduhren sollte das Kaufhaus vorrätig halten, so dass mit Wahrscheinlichkeit von mind. 98% alle 1000 Einsender eine passende Uhr erhalten?
Verwenden Sie
a) die Cebysev-Ungleichung
b) die Normalapproximation |
Hallo,
ich habe versucht, die Aufgabe zu lösen. Bin mir aber nicht sicher, ob das alles so stimmt. Ich hoffe, dass mir jemand weiter helfen könnte, wenn was falsch ist. Danke! 
a) Die die Cebysev-Ungleichung lautet P(|X- [mm] \mu| \ge \epsilon) \le \bruch{Var(X)}{\epsilon^{2}}, [/mm] wobei [mm] \mu [/mm] für den Erwartungswert steht und [mm] \epsilon [/mm] > 0.
Ich hab zunächst versucht, den Erwatungswert und die Varianz zu berechnen: [mm] \mu [/mm] = n * p = 1000 * 0,5 = 500
Var(X) = n * p *(1-p) = 1000 * 0,5 * 0,5 = 250
Stimmt das so? Ich bin mir nicht sicher, ob das p = 0,5 ist. Ich dachte mir das, weil in der Angabe steht "Nehmen Sie an, dass sich beide Geschlechter gleichermaßen von dem Angebot angesprochen fühlen".
Also eingesetzt in die Cebysev-Ungleichung:
P(|X - 500| < [mm] \epsilon) \ge [/mm] 1 - [mm] {Var(X)}{\epsilon^{2}} \ge [/mm] 0,98
Stimmt der Ansatz so? Ich hab eine äquivalente Form der Cebysev-Ungleichung verwendet.
Dann hab ich nach [mm] \epsilon [/mm] aufgelöst:
1 - [mm] \bruch{250}{\epsilon^{2}} \ge [/mm] 0,98
0,02 [mm] \ge \bruch{250}{\epsilon^{2}}
[/mm]
[mm] \epsilon^{2} \ge [/mm] 12500
[mm] \epsilon \ge \wurzel{12500} \approx [/mm] 112
Also muss das Kaufhaus [388 , 612] Damen- bzw. Herrenuhren vorrätig haben. (Ich hab einfach zum Erwartungswert 500 jeweils die 112 dazuaddiert bzw. abgezogen)
Stimmt das so?
b) Hier bin ich mir unsicher, welche Formel ich anwenden muss:
Ich hab mal so angefangen: P(X [mm] \ge [/mm] k) = 1 - P(X < k) = 1 - [mm] \Phi(\bruch{k- \mu}{\sigma}). [/mm] Ich hab k= 1000 gesetzt
P(X [mm] \ge [/mm] 1000) = 1 [mm] \Phi(\bruch{1000- 500}{\wurzel{250}})
[/mm]
Stimmt das soweit? Ich weiß nicht genau, was ich für das k einsetzen soll und überhaupt, ob das die richtige Formel für die Normalapproximation ist.
Ich hoffe, es hilft mir jemand weiter!
Vielen Dank schonmal.
Liebe Grüße,
Moe
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:49 Sa 30.12.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
könnte mir bitte jemand bei der Aufgabe weiterhelfen? Ich komm bei der Normalapproximation nicht weiter und bei der Cebysev-Ungleichung bin ich mir auch nicht sicher, ob das so stimmt, was ich mir überlegt habe. Mein Lösungsansatz steht im letzten Posting.
Ich hoffe daher, dass mir jemand weiter helfen kann. Das wäre sehr nett!
Danke vielmals und guten Rutsch!
Lg, Moe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Sa 30.12.2006 | | Autor: | luis52 |
Moin Moe007,
an deiner ersten Loesung ist viel Richtiges, jedoch muesste es dich doch
stutzig machen, dass du eine Intervall erhaeltst. Und 388 Uhren machen
keinen Sinn, denn man braucht sicherlich mindestens 500 Uhren.
Gesucht ist die Anzahl $x>500$ mit [mm] $P(X\ge x)\le [/mm] 0.02$. Ich wuerde so
argumentieren:
[mm] $P(X\ge x)=P(X-\mu\ge x-\mu)\le P(|X-\mu|\ge x-\mu)\le\frac{250}{(x-\mu)^2}$.
[/mm]
Waehle als $x$ so gross, dass [mm] $\frac{250}{(x-\mu)^2}\le [/mm] 0.02$.
Im Grenzfall setze ich beide Seiten gleich, was mir eine quadratische
Gleichung liefert mit den von dir genannten Loesungen 388 und 612. Aber
nur 612 ist sinnvoll.
Dass die TU zu wenig nuetzlichen Ergebnissen fuehren kann, ist bekannt.
Im volrliegenden Fall ist der exakte Wert: [mm] $P(X\ge [/mm] 612)= [mm] 7\times 10^{-13}$, [/mm] ein viel zu "vorsichtiges" Ergebnis.
Besser ist es hier die Normalapproximation ueber den Satz von
deMoivre-Laplace zu verwenden. Ein Schuss ins Blaue meinerseits fuehrte mich zu
https://matheraum.de/read?t=52460
Bitte schau dir die Diskussion dort an, um die folgende Loesung zu
verstehen:
Es muss gelten [mm] $0.02=P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)\approx 1-\Phi(((k-1)+0.5-500)/\sqrt{250})$.
[/mm]
Damit muss $k$ so gewaehlt werden, dass [mm] $((k-1)+0.5-500)/\sqrt{250}$ [/mm] mit
dem 98%-Punkt [mm] $z_{0.98}=2.054$ [/mm] der Standardnormalverteilung
uebereinstimmt. Ich erhalte $k=532.977$.
Fuer dieses Ergebnis ist [mm] $P(X\ge [/mm] 532)=0.023$. Nicht uebel 
hth
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:03 So 31.12.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo luis52,
erstmal vielen Dank für deine Antwort. Ich hab aber leider nicht alles nachvollziehen können, was du mir geschrieben hast. Wie kommt man denn auf die Ungleichung P(X [mm] \ge [/mm] x) [mm] \le [/mm] 0,02?
> Gesucht ist die Anzahl [mm]x>500[/mm] mit [mm]P(X\ge x)\le 0.02[/mm]. Ich
> wuerde so
> argumentieren:
>
> [mm]P(X\ge x)=P(X-\mu\ge x-\mu)\le P(|X-\mu|\ge x-\mu)\le\frac{250}{(x-\mu)^2}[/mm].
>
> Waehle als [mm]x[/mm] so gross, dass [mm]\frac{250}{(x-\mu)^2}\le 0.02[/mm].
>
> Im Grenzfall setze ich beide Seiten gleich, was mir eine
> quadratische
> Gleichung liefert mit den von dir genannten Loesungen 388
> und 612. Aber
> nur 612 ist sinnvoll.
>
> Dass die TU zu wenig nuetzlichen Ergebnissen fuehren kann,
> ist bekannt.
> Im volrliegenden Fall ist der exakte Wert: [mm]P(X\ge 612)= 7\times 10^{-13}[/mm],
> ein viel zu "vorsichtiges" Ergebnis.
Wie kommt man auf diese [mm] 7\times 10^{-13}?
[/mm]
>
> Besser ist es hier die Normalapproximation ueber den Satz
> von deMoivre-Laplace zu verwenden.
> Es muss gelten [mm]0.02=P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)\approx 1-\Phi(((k-1)+0.5-500)/\sqrt{250})[/mm].
>
> Damit muss [mm]k[/mm] so gewaehlt werden, dass
> [mm]((k-1)+0.5-500)/\sqrt{250}[/mm] mit
> dem 98%-Punkt [mm]z_{0.98}=2.054[/mm] der Standardnormalverteilung
> uebereinstimmt. Ich erhalte [mm]k=532.977[/mm].
Wie man auf diese Lösung kommt, habe ich verstanden. Das einzige, was mir noch unklar ist, wann ich -0,5 oder +0,5 als Korrektur nehmen soll. Ich hoffe, du kannst es mir erklären.
>
> Fuer dieses Ergebnis ist [mm]P(X\ge 532)=0.023[/mm].
Das hast du aus dem Tafelwerk abgelesen oder?
Ich wollte dich auch fragen, ob es so ein Tafelwerk auch im Internet gibt?
Danke nochmal für deine Hilfe!
Gutes neues Jahr wünsch ich,
Moe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 So 31.12.2006 | | Autor: | luis52 |
> Wie kommt man denn auf die Ungleichung P(X [mm]\ge[/mm] x) [mm]\le[/mm]
> 0,02?
>
Na, die Vorratsmenge $x$ soll doch mit der Hoechstwahrscheinlichkeit von
0.02 ueberschritten werden.
> > Im volrliegenden Fall ist der exakte Wert: [mm]P(X\ge 612)= 7\times 10^{-13}[/mm],
> > ein viel zu "vorsichtiges" Ergebnis.
> Wie kommt man auf diese [mm]7\times 10^{-13}?[/mm]
>
Das habe ich mit R ausgerechnet:
http://cran.r-project.org/
>
> Ich erhalte [mm]k=532.977[/mm].
>
> Wie man auf diese Lösung kommt, habe ich verstanden. Das
> einzige, was mir noch unklar ist, wann ich -0,5 oder +0,5
> als Korrektur nehmen soll. Ich hoffe, du kannst es mir
> erklären.
Ist $X$ binomialverteilt mit $n$ und $p$, so lautet die Approximation
[mm] $P(X\le x)\approx\Phi\left(\frac{x+0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$
[/mm]
fuer $x=0,1,2,...,n$.
Es sollte ja [mm] $P(X\le [/mm] k-1)$ ausgerechnet werden. Eingesetzt in obige
Formel erhaelt man jenes Ergebnis.
> >
> > Fuer dieses Ergebnis ist [mm]P(X\ge 532)=0.023[/mm].
> Das hast du aus dem Tafelwerk abgelesen oder?
Nein, wieder mit R berechnet.
> Ich wollte dich auch fragen, ob es so ein Tafelwerk auch im
> Internet gibt?
Das weiss ich nicht, aber ich denke schon.
>
> Gutes neues Jahr wünsch ich,
>
> Moe
Das wuensche ich dir und allen Lesern ebenfalls.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 So 31.12.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo luis52,
danke für deine Antwort. Ich glaub, ich hab das jetzt mit der Ungleichung verstanden . Die Zufallsvariable X gibt doch an, wie viele Damen bzw. Herren sich für dieses Angebot interessieren oder?
> > > Im vorliegenden Fall ist der exakte Wert: [mm]P(X\ge 612)= 7\times 10^{-13}[/mm],
> > > ein viel zu "vorsichtiges" Ergebnis.
> > Wie kommt man auf diese [mm]7\times 10^{-13}?[/mm]
> >
>
> Das habe ich mit R ausgerechnet:
>
> http://cran.r-project.org/
Kann man das auch ohne dieses Programm berechnen? Weil in der Klausur hat man ja nicht die Möglichkeit, das mit R zu berechnen.
Viele Grüße,
Moe
|
|
|
|
