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| Aufgabe | Sei ( [mm] \Omega_1 [/mm] , [mm] \mathcal{A}_1 [/mm] , [mm] \mu) [/mm] = ( [mm] \IR^2, \mathcal{B}^2 [/mm] , [mm] \lambda^2) [/mm] , ( [mm] \Omega_2 [/mm] , [mm] \mathcal{A}_2 [/mm] , [mm] \nu) [/mm] = [mm] (\IR [/mm] , [mm] \mathcal{B} [/mm] , [mm] \lambda)
[/mm]
Berechnen Sie folgende Volumina:
(r > 0 Konstante)
M := { (x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] | [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 \le r^2 [/mm] , z [mm] \ge [/mm] 0 }
N := {(x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] | [mm] z^2 \le x^2 +y^2 \le r^2 [/mm] , z [mm] \ge [/mm] 0 } |
Huhu zusammen,
also an sich weiß ich wie man es auf normale Weise mit Transformationen ausrechnet, aber ich solls wohl mit dieser Cavalieri Schreibweise machen.
(Ergebnis müsste um [mm] \bruch{2}{3} \pi r^3 [/mm] liegen)
Nach Def. ist zu berechnen
[mm] \lambda^3 [/mm] = [mm] \lambda^2 \otimes \lambda [/mm]
Ich weiß, das erste ist eine Halbkugel, und eig ist
http://de.wikiversity.org/wiki/Allgemeines_Kugelvolumen/Mit_Cavalieri-Prinzip/Beispiel
ganz gut erklärt, aber so wirklich verstehen tu ichs nicht. Wenn ich mich aber an das gepostet Beispiel ähnlich halte:
Man betrachtet [mm] M_3 \subseteq \IR^2 [/mm] x [mm] [0,\infty)
[/mm]
M := { (x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] | [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 \le r^2 [/mm] , z [mm] \ge [/mm] 0 }
= {(x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] | [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le r^2 -z^2 [/mm] , z [mm] \ge [/mm] 0}
Man betrachtet also einen Kreis mit dem Radius [mm] \wurzel{r^2-z^2}
[/mm]
= { x [mm] \in \IR [/mm] | [mm] x^2 \le r^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] - z ^2 , z [mm] \ge [/mm] 0 }
Man betrachtet hier ein Intervall
[ [mm] -\wurzel{r^2-y^2-z^2} [/mm] ,
[mm] \wurzel{r^2-y^2-z^2} [/mm] ] ,z [mm] \ge [/mm] 0, also der Länge 2 * [mm] \wurzel{r^2-y^2-z^2}
[/mm]
Nun ist [mm] \lambda^2 \otimes \lambda [/mm] :=
[mm] \integral_{\IR^2} \lambda (M_{x,y}) [/mm] d [mm] \lambda^2 [/mm] (mit dem M bin ich unsicher ob [mm] M_x [/mm] oder [mm] M_{x,y} [/mm] )
= ?
2 * [mm] \integral_{\IR^2} \wurzel{r^2 - y^2 -z^2 } [/mm] d [mm] \lambda^2
[/mm]
Falls dies richtig ist, wie macht man weiter?
Integriere ich normal
etwa
2 * [mm] \integral_{0}^{r} \integral_{- \wurzel{r^2-z^2}}^{\wurzel{r^2-z^2}} \wurzel{r^2 - y^2 -z^2 } [/mm] dy dz
oder gehts weiter mit Cavalierie?
Würde mich über Hilfe freuen :)
Lg,
Eve
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mo 02.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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