Cauchyscher Integralsatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Mi 09.05.2007 | | Autor: | cruemel |
| Aufgabe | | [mm] $\int_{\partial B_{1}(i)} {\frac{dz}{z^2+1}}$ [/mm] |
Hallo!
Bin langsam am verzweifeln, versuche schon seit Stunden hinter das Geheimnis des Cauchy Integralsatzes zu kommen und checks einfach nicht.
Der Satz besagt doch folgendes:
[mm] $\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B_r(z_0)}{ \frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm dz }=f(z_0)$
[/mm]
Habe zunächst den Integranden Zerlegt (mit Partialbruchzerlegung):
[mm] $\int_{\partial B_{1}(i)} {\frac{dz}{z^2+1}}=\int_{\partial B_{1}(i)} {\frac{\frac{1}{2} i}{z+i}}dz [/mm] + [mm] \int_{\partial B_{1}(i)} {\frac{-\frac{1}{2} i}{z-i}} [/mm] dz$
Dann muss ich doch den Integranden so umformen, dass [mm] $z-z_0$ [/mm] im Nenner steht, also hier $z-i$, da $i$ der Kreismittelpunkt ist, oder?
Das sieht dann bei mir so aus:
[mm] $\int_{\partial B_{1}(i)} {\frac{\frac{1}{2} i\cdot (z+i)^{-1}(z-i)}{z-i}} [/mm] dz + [mm] \int_{\partial B_{1}(i)} {\frac{-\frac{1}{2} i}{z-i}} [/mm] dz$
Dann muss ich doch $f(z)$ finden, in diesem Fall gibts 2, also [mm] $f_1$ [/mm] und [mm] $f_2$ [/mm] mit
[mm] $f_1(z) =\frac{(z-i)i}{2(z+i)}$ [/mm] und [mm] $f_2(z)=-\frac{1}{2}\cdot [/mm] i$
Ist diese Vorgehensweise richtig?
Vielen Dank schon mal.
Grüße
Cruemel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Mi 09.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Cruemel!
> [mm]\int_{\partial B_{1}(i)} {\frac{dz}{z^2+1}}[/mm]
> Hallo!
>
> Bin langsam am verzweifeln, versuche schon seit Stunden
> hinter das Geheimnis des Cauchy Integralsatzes zu kommen
> und checks einfach nicht.
>
> Der Satz besagt doch folgendes:
> [mm]\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B_r(z_0)}{ \frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm dz }=f(z_0)[/mm]
>
> Habe zunächst den Integranden Zerlegt (mit
> Partialbruchzerlegung):
>
> [mm]\int_{\partial B_{1}(i)} {\frac{dz}{z^2+1}}=\int_{\partial B_{1}(i)} {\frac{\frac{1}{2} i}{z+i}}dz + \int_{\partial B_{1}(i)} {\frac{-\frac{1}{2} i}{z-i}} dz[/mm]
>
> Dann muss ich doch den Integranden so umformen, dass [mm]z-z_0[/mm]
> im Nenner steht, also hier [mm]z-i[/mm], da [mm]i[/mm] der Kreismittelpunkt
> ist, oder?
>
> Das sieht dann bei mir so aus:
>
> [mm]\int_{\partial B_{1}(i)} {\frac{\frac{1}{2} i\cdot (z+i)^{-1}(z-i)}{z-i}} dz + \int_{\partial B_{1}(i)} {\frac{-\frac{1}{2} i}{z-i}} dz[/mm]
Soweit so gut. Du kannst aber das erste Integral auch so lassen, da du hier ein Kurvenintegral ueber einen Integranden hast, der auf dem Ball [mm] $B_1(i)$ [/mm] holomorph ist! Das Integral ist also nach dem (eigentlichen) Cauchyschen Integralsatz gleich $0$.
> Dann muss ich doch [mm]f(z)[/mm] finden, in diesem Fall gibts 2,
> also [mm]f_1[/mm] und [mm]f_2[/mm] mit
> [mm]f_1(z) =\frac{(z-i)i}{2(z+i)}[/mm] und [mm]f_2(z)=-\frac{1}{2}\cdot i[/mm]
>
> Ist diese Vorgehensweise richtig?
Ja.
(Es ist uebrigens [mm] $f_1(i) [/mm] = 0$, womit du siehst das auch mit deiner Rechnung das gleiche herauskommt als wenn du direkt gesehen haettest, dass das erste Integral gleich $0$ ist.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Mi 09.05.2007 | | Autor: | cruemel |
Hallo felixf!
Wenn du sagst, das ganze Integral wird 0, also $ [mm] \int_{\partial B_{1}(i)} {\frac{dz}{z^2+1}} [/mm] =0$, dann muss aber irgendwo ein Fehler sein. Denn
[mm] $f_2(z)=-\frac{1}{2}i$ [/mm] also [mm] $f_2(i)=-\frac{1}{2}i$
[/mm]
Dann bekomme ich
$ [mm] \int_{\partial B_{1}(i)} {\frac{dz}{z^2+1}}=0 [/mm] + [mm] f_2(i)\cdot 2\pi [/mm] i [mm] =-\frac{1}{2}i\cdot 2\pi [/mm] i = [mm] \pi$
[/mm]
Ähm, was ist nun falsch?
Grüße
Cruemel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Mi 09.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst ein bissel genauer lesen. Felix hat von den ersten deiner beiden Integrale gesprochen, das ist ohne umständliches umformen schon direkt 0.
Das ganze, also die Summe der 2 natürlich nicht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:50 Do 10.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Du musst ein bissel genauer lesen. Felix hat von den
> ersten deiner beiden Integrale gesprochen, das ist ohne
> umständliches umformen schon direkt 0.
War allerdings schon recht missverstaendlich von mir formuliert... :)
Gemeint war halt das erste in der Summe von den zwei Integralen...
LG Felix
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