Cauchyscher Grenzwertsatz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:53 Fr 25.12.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
für eine Aufgabe aus einem Tutorium muss ich den den Grenzwertsatz von Cauchy beweisen.
Nun geht es mir aber vielmehr darum, den Beweis dafür erst einmal überhaupt zu verstehen.
Ich hoffe, dass mir jemand dabei helfen kann.
Warum ist, unter der Voraussetzung, dass $\ [mm] a_n \to [/mm] a $, das arithmetische Mittel $\ [mm] \frac{a_1 +..+ a_n}{n} [/mm] $ ebenfalls konvergent mit dem Grenzwert $\ a $ ?
Der Beweis steht unter anderem im Heuser, doch ich verstehe ihn leider nicht.
Wäre jemand so nett, mir das ganze ein wenig näher zu bringen?
Würde mich sehr freuen, auch über Denkanstöße.
Viele Grüße
ChopSuey
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Hallo,
> Hallo,
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> für eine Aufgabe aus einem Tutorium muss ich den den
> Grenzwertsatz von Cauchy beweisen.
> Nun geht es mir aber vielmehr darum, den Beweis dafür
> erst einmal überhaupt zu verstehen.
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> Ich hoffe, dass mir jemand dabei helfen kann.
>
> Warum ist, unter der Voraussetzung, dass [mm]\ a_n \to a [/mm], das
> arithmetische Mittel [mm]\ \frac{a_1 +..+ a_n}{n}[/mm] ebenfalls
> konvergent mit dem Grenzwert [mm]\ a[/mm] ?
>
> Der Beweis steht unter anderem im Heuser, doch ich verstehe
> ihn leider nicht.
wie waere es denn, wenn du die stelle im beweis postest, die du nicht verstehst? So wirst du eher eine antwort bekommen.
gruss
Matthias
>
> Wäre jemand so nett, mir das ganze ein wenig näher zu
> bringen?
>
> Würde mich sehr freuen, auch über Denkanstöße.
> Viele Grüße
> ChopSuey
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:55 Mo 28.12.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Matthias,
danke für Deinen Einwand. Ich bin mal so frei, und zitiere aus dem Heuser. Falls es da irgendwelche rechtlichen Probleme oder ähnliches gibt, nehm ich das wieder raus.
____________
Strebt $\ [mm] a_n \to [/mm] 0 $, so liegen für hinreichend große n, etwa für alle $\ n > m $, die Glieder $\ [mm] a_n [/mm] $ "dicht bei 0", kurz: $\ [mm] a_n \approx [/mm] 0 $ für $\ n > m $. Dasselbe wird dann auch für jedes der arithmetischen Mittel $\ [mm] (a_{m+1} [/mm] +...+ [mm] a_n)/(n-m) [/mm] $ gelten. ....
...wir erwarten, dass $\ [mm] (a_{1} [/mm] +...+ [mm] a_n)/n [/mm] = [mm] (a_{1} [/mm] +...+ [mm] a_m)/n [/mm] + [mm] (a_{m+1} [/mm] +...+ [mm] a_n)/n \approx [/mm] 0 $ ist für alle hinreichend großen $\ n $, schärfer: dass $\ [mm] (a_{1} [/mm] +...+ [mm] a_n)/n \to [/mm] 0 $ strebt für $\ n [mm] \to \infty [/mm] $.
...Beweis:
Wegen $\ [mm] \lim a_n [/mm] = 0 $ gibt es zu beliebig vorgeschriebenem $\ [mm] \varepsilon [/mm] > 0 $ ein $\ m $ derart, dass für $\ k > m $ steht $\ | [mm] a_k [/mm] | < [mm] \varepsilon/2 [/mm] $ bleibt. Dann ist auch
$\ [mm] \frac{|a_{m+1}+...+a_n|}{n-m} \le \frac{|a_{m+1}|+...+|a_n|}{n-m} [/mm] < [mm] \frac{(n-m)\frac{\varepsilon}{2}}{n-m} [/mm] = [mm] \frac{\varepsilon}{2}$
[/mm]
Hier hing ich irgendwie am meisten Fest.
Undzwar: Wieso ist, unter der Voraussetzung, dass $\ | [mm] a_k [/mm] | < [mm] \varepsilon/2 [/mm] $ bleibt, das arithmetische Mittel ebenfalls $\ [mm] \frac{|a_{m+1}+...+a_n|}{n-m} [/mm] < [mm] \varepsilon/2 [/mm] $ ? Oder äquivalent: wieso strebt das arithmetische Mittel auch gegen 0 ?
Meine zweite Frage ist: Wie kommt auf der rechten Seite der Ungleichung das $\ (n-m)$ in den Zähler? Ich konnte nicht sehen, woraus das resultieren sollte.
Im weiteren Beweis werden dann nur noch weitere Abschätzungen gemacht, die ich glaube ich soweit nachvollziehen konnte.
Würde mich über Hilfe freuen,
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 Mo 28.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Wir haben doch:
[mm] $|a_{m+1}| [/mm] , ..., [mm] |a_n| [/mm] < [mm] \varepsilon/2$
[/mm]
Also gilt für die Summe( mit n-m Summanden):
[mm] $|a_{m+1}| [/mm] + ...+ [mm] |a_n| [/mm] < [mm] \varepsilon/2+\varepsilon/2+ [/mm] ...+ [mm] \varepsilon/2= (n-m)\varepsilon/2$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Mo 28.12.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Fred,
> Wir haben doch:
>
>
> [mm]|a_{m+1}| , ..., |a_n| < \varepsilon/2[/mm]
>
> Also gilt für die Summe( mit n-m Summanden):
>
>
>
> [mm]|a_{m+1}| + ...+ |a_n| < \varepsilon/2+\varepsilon/2+ ...+ \varepsilon/2= (n-m)\varepsilon/2[/mm]
...und es kann so einfach sein! Vielen Dank.
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> FRED
Grüße
ChopSuey
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