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| Aufgabe | | Berechnen Sie die Cauchysche Produktreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} c_{n} [/mm] der folgenden Reihen [mm] \summe_{v=0}^{\infty}q^{v} [/mm] und [mm] \summe_{v=0}^{\infty} (-q)^{v} [/mm] , wobei |q|<1 ist. |
Hallo!Ich hab keine wirkliche Ahnung was ich überhaupt machen soll.Bei wikipedia.de hab ich gefunden, dass man die Cauchysche Produkreihe berechnet/erstellt durch: sei [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a^{n}, \summe_{n=0}^{\infty} b^{n} [/mm] gegeben. [mm] c_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k} b_{n-k}daraus [/mm] würde ich schlussfolgern, dass "mein" [mm] c_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} q^{k} (-q)^{v-k} [/mm] ist. ist das soweit richtig? Sieht ja recht simpel aus.Wie muss ich das jetzt aber berechnen? Oder war das schon die Aufgabe?Wär schön wenn mir jemand helfen könnte.LG little_sunshine
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Mi 10.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie die Cauchysche Produktreihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}[/mm] der folgenden Reihen
> [mm]\summe_{v=0}^{\infty}q^{v}[/mm] und [mm]\summe_{v=0}^{\infty} (-q)^{v}[/mm]
> , wobei |q|<1 ist.
> Hallo!Ich hab keine wirkliche Ahnung was ich überhaupt
> machen soll.Bei wikipedia.de hab ich gefunden, dass man die
> Cauchysche Produkreihe berechnet/erstellt durch: sei
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a^{n}, \summe_{n=0}^{\infty} b^{n} [/mm]
> gegeben. [mm]c_{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{k} b_{n-k}daraus[/mm] würde
> ich schlussfolgern, dass "mein" [mm]c_{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} q^{k} (-q)^{v-k}[/mm]
Es muß
[mm]c_{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} q^{k} (-q)^{n-k}[/mm]
lauten
also [mm] c_n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} q^{k} q^nq^{-k}(-1)^{n-k} [/mm] = [mm] q^n \summe_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}
[/mm]
Hilft das ?
FRED
> ist. ist das soweit richtig? Sieht ja recht simpel aus.Wie
> muss ich das jetzt aber berechnen? Oder war das schon die
> Aufgabe?Wär schön wenn mir jemand helfen könnte.LG
> little_sunshine
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Ja, ok... das hilft ja schon mal.
ich überlege nur, wie ich es geschickt berechne.... theoretisch müsste ja [mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} [/mm] null, 1 oder -1 werden. n ist ja ne festgelegte, endliche zahl. demnach ist die differenz n-k mal gerade und mal ungerade. also ist [mm] c_{n} [/mm] eine alternierende reihe.... muss ich dann nu noch eine fallunterscheidung durchführen oder ist meine denkweise falsch? zumal ja eigentlich die cauchysche produktreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} c_{n} [/mm] ist.oder?
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Hallo little_sunshine,
> Ja, ok... das hilft ja schon mal.
> ich überlege nur, wie ich es geschickt berechne....
> theoretisch müsste ja [mm]\summe_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}[/mm] null, 1
> oder -1 werden. n ist ja ne festgelegte, endliche zahl.
> demnach ist die differenz n-k mal gerade und mal ungerade.
> also ist [mm]c_{n}[/mm] eine alternierende reihe.... muss ich dann
> nu noch eine fallunterscheidung durchführen oder ist meine
> denkweise falsch? zumal ja eigentlich die cauchysche
Denk nochmal darüber nach, wie die [mm]c_{n}[/mm] genau aussehen.
> produktreihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}[/mm] ist.oder?
Gruß
MathePower
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mein [mm] c_{n} [/mm] = [mm] q^{n} \summe_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}damit [/mm] betrachte ich ja erstmal die summe, da sich ja die k´s ändern und das n fest ist.wie soll ich denn sonst das [mm] \summe{n=0}^{\infty} c_{n} [/mm] berechnen? das ist ja eigentlich auch mein hauptproblem.....lg
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Hallo little_sunshine,
> mein [mm]c_{n}[/mm] = [mm]q^{n} \summe_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}damit[/mm]
> betrachte ich ja erstmal die summe, da sich ja die k´s
> ändern und das n fest ist.wie soll ich denn sonst das
> [mm]\summe{n=0}^{\infty} c_{n}[/mm] berechnen? das ist ja eigentlich
> auch mein hauptproblem.....lg
Schreibe Dir die Summe mal ausführlich hin.
Dann kannst Du auch etwas über [mm]c_{n}[/mm] sagen.
Gruß
MathePower
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