Cauchysche Integralformel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Jenny85 |
Hallo!
Habe ein paar Integrale bekommen, die ich mit der Cauchysche Integralformel lösen soll. Wie diese lautet weiß ich ( f(z)= [mm] \bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\alpha}{\bruch{f(b)}{b-z}dz}). [/mm] Habe aber leider gar keine Ahnung, wie ich das auf meine Beispiele anwenden soll. Soll unter anderem folgende Funktion [mm] f(z)=\bruch{7z^{2}+3z+1}{z} [/mm] über den Einheitskreis mit positivem Drehsinn integrieren(Parametrisierung [mm] e^{it}). [/mm] Wäre toll wenn mir dazu jemand einen Hinweis geben könnte!
Mit freundlichen Grüßen
Jenny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Mo 07.05.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm] \bruch{1}{2i\pi}\integral_{|z|=1}\bruch{7z^{2}+3z+1}{z} [/mm] = da z=0 im Innern des Integrationsgebiets liegt = f(0) = 7*0+3*0+1 = 1
daher
[mm] \integral_{|z|=1}\bruch{7z^{2}+3z+1}{z} [/mm] = [mm] 2i\pi
[/mm]
das kannst du nun durch Substitution überprüfen...
[mm] z=e^{it} [/mm] t von 0 bis [mm] 2\pi
[/mm]
dz= [mm] i*e^{it}dt
[/mm]
usw...
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