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Forum "Folgen und Reihen" - Cauchyprodukt
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Cauchyprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:29 Mi 08.12.2010
Autor: dreamweaver

Aufgabe
Bilden Sie das Cauchyprodukt [mm] \summe_{k=0}^{\infty} c_{k} [/mm] der Reihen [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k} [/mm] mit [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4^{k}} [/mm] und [mm] \summe_{m=0}^{\infty} b_{m} [/mm] = [mm] \bruch{16^{-m}}{m!} [/mm] und berechnen Sie das Reihenglied [mm] c_{2} [/mm] des Cauchyprodukts.

Also das Cauchyprodukt ist ja folgendermaßen definiert:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{k} a_{k-l}\cdot{}b_{l} [/mm]

Ich hab das Cauchyprodukt folgendermaßen gebildet:

[mm] \summe_{k=0}^{\infty} c_{k} [/mm] := [mm] \bruch{1}{4^{k-l}}\cdot{}\bruch{16^{-l}}{l!} [/mm]

Stimmt das soweit?

Dann hab ich den Zähler des zweiten Faktors in den Nenner gebracht:


[mm] \summe_{k=0}^{\infty} c_{k} [/mm] := [mm] \bruch{1}{4^{k-l}}\cdot{}\bruch{1}{16^{l}\cdot{}l!} [/mm]

Da ich ja das zweite Reihenglied berechnen soll, hab ich für k und l 2 eingesetzt:

[mm] c_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4^{2-2}\cdot{}16^{2}\cdot{}2!} [/mm] = [mm] \bruch{1}{512} [/mm]

Das richtige Ergebnis lautet allerdings [mm] \bruch{41}{512}. [/mm] Kann mir bitte jemand sagen was ich falsch gemacht hab?

Lg

        
Bezug
Cauchyprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 Mi 08.12.2010
Autor: weightgainer

Hallo,

> Bilden Sie das Cauchyprodukt [mm]\summe_{k=0}^{\infty} c_{k}[/mm]
> der Reihen [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{k}[/mm] mit [mm]a_{k}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{4^{k}}[/mm] und [mm]\summe_{m=0}^{\infty} b_{m}[/mm] =
> [mm]\bruch{16^{-m}}{m!}[/mm] und berechnen Sie das Reihenglied [mm]c_{2}[/mm]
> des Cauchyprodukts.
>  Also das Cauchyprodukt ist ja folgendermaßen definiert:
>  [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{k} a_{k-l}\cdot{}b_{l}[/mm]
>  
> Ich hab das Cauchyprodukt folgendermaßen gebildet:
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} c_{k}[/mm] :=
> [mm]\bruch{1}{4^{k-l}}\cdot{}\bruch{16^{-l}}{l!}[/mm]
>  
> Stimmt das soweit?
>  

Nein, denn deine [mm] c_k [/mm] sind jeweils eine Summe:
[mm]\summe_{l=0}^{k} a_{k-l}\cdot{}b_{l}[/mm]

> Dann hab ich den Zähler des zweiten Faktors in den Nenner
> gebracht:
>  
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} c_{k}[/mm] :=
> [mm]\bruch{1}{4^{k-l}}\cdot{}\bruch{1}{16^{l}\cdot{}l!}[/mm]
>  
> Da ich ja das zweite Reihenglied berechnen soll, hab ich
> für k und l 2 eingesetzt:
>  
> [mm]c_{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4^{2-2}\cdot{}16^{2}\cdot{}2!}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{512}[/mm]
>  
> Das richtige Ergebnis lautet allerdings [mm]\bruch{41}{512}.[/mm]
> Kann mir bitte jemand sagen was ich falsch gemacht hab?

Du musst also den von dir ermittelten Term noch summieren, d.h. für [mm] c_2 [/mm] also:
[mm] c_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4^{2}} [/mm] * [mm] \bruch{16^{-0}}{0!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4^{1}} [/mm] * [mm] \bruch{16^{-1}}{1!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4^{0}} [/mm] * [mm] \bruch{16^{-2}}{2!} [/mm]

>  

Das sollte es tun :-)

> Lg

lg weightgainer


Bezug
                
Bezug
Cauchyprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:17 Mi 08.12.2010
Autor: dreamweaver

Aja genau...

Vielen Dank!

Eine Frage hab ich aber noch, wieso ist die Potenz von $ [mm] \bruch{1}{4^{2}} [/mm] $ positiv für k = 0?

Ich hab doch die Form:
$ [mm] \bruch{1}{4^{k-l}}\cdot{}\bruch{16^{-l}}{l!} [/mm] $

Für l setze ich 2 ein oder?
Ich weiß, dass deine Lösung so stimmt, nur frage ich mich wieso die Potenz postiv ist.

Lg



Bezug
                        
Bezug
Cauchyprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:30 Mi 08.12.2010
Autor: MathePower

Hallo dreamweaver,

> Aja genau...
>  
> Vielen Dank!
>  
> Eine Frage hab ich aber noch, wieso ist die Potenz von
> [mm]\bruch{1}{4^{2}}[/mm] positiv für k = 0?
>  
> Ich hab doch die Form:
>  [mm]\bruch{1}{4^{k-l}}\cdot{}\bruch{16^{-l}}{l!}[/mm]
>  
> Für l setze ich 2 ein oder?
>  Ich weiß, dass deine Lösung so stimmt, nur frage ich
> mich wieso die Potenz postiv ist.


Das Cauchyprodukt liefert die Koeffizienten [mm]c_{k}[/mm]:

[mm]c_{k}=\summe_{l=0}^{k}\bruch{1}{4^{k-l}}\bruch{16^{-l}}{l!}[/mm]

Offenbar hast Du hier den Koeffizienten [mm]c_{2}[/mm] betrachtet:

[mm]c_{2}=\summe_{l=0}^{2}\bruch{1}{4^{2-l}}\bruch{16^{-l}}{l!}[/mm]

Damit lautet dieser Koeffizient:

[mm]c_{2}=\bruch{1}{4^{2-0}}\bruch{16^{-0}}{0!}+\bruch{1}{4^{2-1}}\bruch{16^{-1}}{1!}+\bruch{1}{4^{2-2}}\bruch{16^{-2}}{2!}=\bruch{1}{4^{2}}\bruch{16^{-0}}{0!}+\bruch{1}{4^{1}}\bruch{16^{-1}}{1!}+\bruch{1}{4^{0}}\bruch{16^{-2}}{2!}[/mm]


>  
> Lg
>  


Gruss
MathePower  

Bezug
                                
Bezug
Cauchyprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:32 Mi 08.12.2010
Autor: dreamweaver

Alles klar, vielen Dank!!

Bezug
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