Cauchykriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Sa 25.10.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | Zeigen Sie mithilfe des Chauchykriteriums, dass die Folge [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n:=\bruch{n}{3n-1}, n \in \IN [/mm] konvergiert. |
Ich musste das Gleiche bereits für das [mm] \varepsilon-[/mm]Kriterium zeigen - was mir nur dank Angelas Erklärungen und Hilfe in diesem Forum gelang. Dort hatte ich aber eine Unbekannte weniger.
Jetzt also mein Ansatz mit der Frage, ob das stimmt und wie es weitergeht:
Es muss gelten, dass es für jedes [mm] \varepsilon > 0 [/mm] eine natürliche Zahl m gibt, für die gilt [mm] n > m \Rightarrow |a_n - a_m|<\varepsilon [/mm].
Das bedeutet [mm] | \bruch{n}{3n-1} - \bruch{m}{3m-1}| = |\bruch{3mn-n-3mn+m}{9mn-3n-3m+1}| = |\bruch{m-n}{9mn-3n-3m+1}|<\varepsilon [/mm]
Und jetzt weiss ich nicht mehr weiter.
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Sa 25.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt musst du ne Abschaetzung finden fuer den Bruch. wegen n>m etwa ist |n-m|>ge 1 du verkleinerst also den Bruch, indem du den Zaehler 1 setzest. Den Nenner musst du vergroessern, damit der Bruch kleiner wird. kriegst du das hin? am Schluss sollten da nur noch n vorkommen, dann kannst du [mm] N(\epsilon) [/mm] einfach bestimmen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Sa 25.10.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo leduart,
vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !
Also, mein Versuch:
[mm]\bruch{1}{9mn-3n-3m+1}\le\bruch{m-n}{9mn-3n-3m+1} [/mm]
Wenn ich jetzt den Nenner verkleinere, weiss ich aber doch nicht, ob ich dann grösser als mein ursprünglicher Bruch (mit m-n im Zähler) werde.
Leider weiss ich nicht weiter.
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Sa 25.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hatte dich auf die falsche Faehrte gesetzt: du musst den Bruch vergroessern, und dann zeigen, dass sogar der groessere Bruch kleiner als [mm] \epsilon [/mm] ist.
dazu musst du 9oder kannst du den Zaehler vergroessern und den nenner verkleinern.
Zahler vergroessern: |m-n|<n dann durch n teilen bleibt der Nenner 9m-3-3m/n+1/n negative Teile vergroessern also statt m/n <1 positive Teile verkleinern also statt 1/n >0 dann hast du nen Bruch, der groesser ist als der urspruengliche und den du durch Wahl von m kleiner [mm] \epsilon [/mm] machen kannst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Sa 25.10.2008 | | Autor: | SusanneK |
> Hallo
> Ich hatte dich auf die falsche Faehrte gesetzt: du musst
> den Bruch vergroessern, und dann zeigen, dass sogar der
> groessere Bruch kleiner als [mm]\epsilon[/mm] ist.
> dazu musst du 9oder kannst du den Zaehler vergroessern und
> den nenner verkleinern.
> Zahler vergroessern: |m-n|<n dann durch n teilen bleibt
> der Nenner 9m-3-3m/n+1/n negative Teile vergroessern also
> statt m/n <1 positive Teile verkleinern also statt 1/n >0
> dann hast du nen Bruch, der groesser ist als der
> urspruengliche und den du durch Wahl von m kleiner [mm]\epsilon[/mm]
> machen kannst.
> Gruss leduart
Hallo leduart,
erst mal wieder vielen Dank für Deine Hilfe !!
Ich fürchte, so ganz verstehe ich das immer noch nicht.
So weit habe ich es verstanden:
[mm] \bruch{m-n}{9mn-3n-3m+1}<\bruch{n}{9mn-3n-3m+1}=\bruch{1}{9m-3-(\bruch{3m}{n}-\bruch{1}{n})}[/mm]
Also, [mm] \bruch{3m}{n}-\bruch{1}{n} [/mm] bleibt positiv, wird im Nenner abgezogen, verkleinert ihn also und macht damit den Bruch grösser, d.h.
[mm] \bruch{1}{9m-3}<\bruch{1}{9m-3-(\bruch{3m}{n}-\bruch{1}{n})} [/mm]
Und kann ich daraus jetzt schliessen: Je grösser ich m wähle, um so kleiner wird der linke Bruch, der immer kleiner als der rechte Bruch ist, und damit bleibe ich immer kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] ... was meine Konvergenz beweist ? Ist das so richtig ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Sa 25.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
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> Ich fürchte, so ganz verstehe ich das immer noch nicht.
> So weit habe ich es verstanden:
>
> [mm]\bruch{m-n}{9mn-3n-3m+1}<\bruch{n}{9mn-3n-3m+1}=\bruch{1}{9m-3-(\bruch{3m}{n}-\bruch{1}{n})}[/mm]
>
> Also, [mm]\bruch{3m}{n}-\bruch{1}{n}[/mm] bleibt positiv, wird im
> Nenner abgezogen, verkleinert ihn also und macht damit den
> Bruch grösser, d.h.
> [mm]\bruch{1}{9m-3}<\bruch{1}{9m-3-(\bruch{3m}{n}-\bruch{1}{n})}[/mm]
Du hast das ungeschickt gemacht.
Du darfst den Nenner nur verkleinern, um den Bruch zu vergroessern:
[mm] 9m-3-\bruch{3m}{n}+ \bruch{1}{n}) [/mm] wird verkleinert, indem ich +1/n weglasse.
[mm] 9m-3-\bruch{3m}{n}+ \bruch{1}{n}<9m-3-\bruch{3m}{n}+ [/mm] 0
ich verkleinere weiter, indem ich 3m/n durch das groessere 3 ersetze, also mehr abziehe
dann hab ich
[mm] 9m-3-\bruch{3m}{n}+ \bruch{1}{n}<9m-3-\bruch{3m}{n}<9m-3-3
[/mm]
damit hast du insgesamt:
[mm][mm] \bruch{m-n}{9mn-3n-3m+1}
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Mo 27.10.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Leduart,
vielen Dank für deine Hilfe !!
Irgenwie stehe ich immer noch auf dem Schlauch.
> Du hast das ungeschickt gemacht.
> Du darfst den Nenner nur verkleinern, um den Bruch zu
> vergroessern:
> [mm]9m-3-\bruch{3m}{n}+ \bruch{1}{n})[/mm] wird verkleinert, indem
> ich +1/n weglasse.
> [mm]9m-3-\bruch{3m}{n}+ \bruch{1}{n}<9m-3-\bruch{3m}{n}+[/mm] 0
> ich verkleinere weiter, indem ich 3m/n durch das groessere
> 3 ersetze, also mehr abziehe
> dann hab ich
> [mm]9m-3-\bruch{3m}{n}+ \bruch{1}{n}<9m-3-\bruch{3m}{n}<9m-3-3[/mm]
>
> damit hast du insgesamt:
> [mm][mm]\bruch{m-n}{9mn-3n-3m+1}
Wenn ich das so mache, dann komme ich auf
[mm] \bruch{m-n}{9mn-3n-3m+1}<\bruch{1}{9m-6}[/mm]
Jetzt setze ich [mm]\bruch{1}{9m-6}<\varepsilon[/mm] und löse nach m auf und erhalte [mm] \bruch{1}{9\varepsilon}+\bruch{2}{3}
Das setze ich in die obere Gleichung ein:
[mm] \bruch{m-n}{9mn-3n-3m+1}<\bruch{1}{9m-6}=\bruch{1}{9(\bruch{1}{9\varepsilon}+\bruch{2}{3})-6}=\varepsilon[/mm]
Was zeigt mir das ?
Dass, je grösser m - und damit auch n - wird, ich immer kleiner Epsilon bleibe und deshalb das Cauchykriterium erfüllt ist und es sich deshalb um eine Cauchyfolge handelt und die Folge deshalb konvergiert ?
Stimmt das ?
Kann ich damit auch den Grenzwert bestimmen ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Mo 27.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Susanne
$ [mm] \bruch{1}{9\varepsilon}+\bruch{2}{3}
Damit kannst du zu jedem beliebigen [mm] \epsilon [/mm] ein m angeben, so dass [mm] |a_n -a_m|<\epsilon [/mm] fuer alle n>m mehr ist nicht verlangt.
Aus der Formel ist zwar klar, dass wenn ein kleineres [mm] \epsilon [/mm] vorgegeben ist man n auch groesser machen muss, aber das ist ausser fuer konstante Folgen eh klar. Das hat nichts mehr mit dem Beweis dass die [mm] a_n [/mm] ne Cauchyfolge bilden und daeshalb konvergieren zu tun.
Du musst dir das wie ne diskussion vorstellen Du und ein Zweifler:
Du : ich kann zeigen, dass der Unterschied [mm] |a_n -a_m| [/mm] kleiner als 0,01 ist, nimm einfach m>112
Zweifler: aber 0,01 find ich gross
Du: naja dann eben 0,0001 dann nimm eben m>11112 und es stimmt wieder.
Dein Zweifler kann dir ne winzige Zahl geben,z. Bsp. [mm] 10^{-100000} [/mm] oder noch viel kleiner und du kannst ihm IMMER ein passendes endliches m angeben.
Das ist die Bedeutung von zu JEDEM BELIEBIGEN [mm] \epsilon>0 [/mm]
dabei MUSS [mm] \epsilon [/mm] nicht winzig sein, aber es darf!
Du hast damit nur bewiesen, dass deine Folge konvergiert, den GW kannst du damit nicht finden!
nimm die folge [mm] a_n=1/n [/mm] die konvergiert gegen 0
|an-am|=|1/n-1/m|
die folge 234+1/n konvergiert gegen 234 aber [mm] |a_n-a_m| [/mm] ist wieder dasselbe.
Das Cauchy Kriterium ist gerade wichtig, wenn man den GW nicht kennt, wie bei ner Folge, mit der man [mm] \pi [/mm] oder e oder [mm] \wurzel{2} [/mm] approximiert. Da kann man dann zeigen, dass ein GW existiert, und gibt ihm den Namen [mm] \pi [/mm] oder e usw. aber als Zahl hinschreiben kann man ihn ja nicht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Mo 27.10.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo leduart,
VIELEN VIELEN DANK für Deine Hilfe und Deine ausführlichen Erklärungen !!
LG, Susanne.
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