Cauchyfolge fast geschafft < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Sa 19.11.2011 | | Autor: | saendra |
| Aufgabe | | hey! Bin dabei bei dieser folge hier [mm] a_n=1+\frac {(-1)^n}{n^3} [/mm] die Cauchyfolgen-Eigenschaft nachzuweisen. |
Dazu hab ich ein [mm] \varepsilon [/mm] >0 und ein [mm] n_0 [/mm] so gewählt, dass [mm] n_0 [/mm] > [mm] \frac {1}{\varepsilon } [/mm] ist.
Mit n $ [mm] \geq [/mm] $ k $ [mm] \geq n_0 [/mm] $ bekomm ich nach der definition der cauchyfolge:
[mm] \left|a_n-a_k\right| [/mm] = [mm] \left| 1+\frac {(-1)^n}{n^3} - \left(1+\frac {(-1)^k}{k^3}\right)\right| [/mm] = [mm] \left| 1+\frac {(-1)^n}{n^3} -1-\frac {(-1)^k}{k^3}\right| [/mm] = [mm] \left| \frac {(-1)^n}{n^3} -\frac {(-1)^k}{k^3}\right| [/mm] = [mm] \left| \frac {k^3(-1)^n}{k^3n^3} -\frac {n^3(-1)^k}{k^3n^3}\right| [/mm] = [mm] \left| \frac {k^3(-1)^n-n^3(-1)^k}{k^3n^3}\right|
[/mm]
der entscheidende schritt fehlt mir dann aber... wie komm ich jetzt weiter? muss ich eine fallunterscheidung machen wegen dem [mm] (-1)^{bla}?
[/mm]
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> hey! Bin dabei bei dieser folge hier [mm]a_n=1+\frac {(-1)^n}{n^3}[/mm]
> die Cauchyfolgen-Eigenschaft nachzuweisen.
> Dazu hab ich ein [mm]\varepsilon[/mm] >0 und ein [mm]n_0[/mm] so gewählt,
> dass [mm]n_0[/mm] > [mm]\frac {1}{\varepsilon }[/mm] ist.
>
> Mit n [mm]\geq[/mm] k [mm]\geq n_0[/mm] bekomm ich nach der definition der
> cauchyfolge:
> [mm]\left|a_n-a_k\right|[/mm] = [mm]\left| 1+\frac {(-1)^n}{n^3} - \left(1+\frac {(-1)^k}{k^3}\right)\right|[/mm]
> = [mm]\left| 1+\frac {(-1)^n}{n^3} -1-\frac {(-1)^k}{k^3}\right|[/mm]
> = [mm]\left| \frac {(-1)^n}{n^3} -\frac {(-1)^k}{k^3}\right|[/mm]
[mm] $\le\left| \frac {(-1)^n}{n^3}\right|+\left| \frac {(-1)^k}{k^3}\right|=\frac{1}{n^3}+\frac{1}{k^3}\le\frac{2}{n_0^3}$
[/mm]
> [mm]=\left| \frac {k^3(-1)^n}{k^3n^3} -\frac {n^3(-1)^k}{k^3n^3}\right|[/mm]
> = [mm]\left| \frac {k^3(-1)^n-n^3(-1)^k}{k^3n^3}\right|[/mm]
>
> der entscheidende schritt fehlt mir dann aber... wie komm
> ich jetzt weiter? muss ich eine fallunterscheidung machen
> wegen dem [mm](-1)^{bla}?[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Sa 19.11.2011 | | Autor: | saendra |
vielen dank erstmal 
hast du bei diesem schritt: ... [mm] =\left| \frac {(-1)^n}{n^3} -\frac {(-1)^k}{k^3}\right| \le\left| \frac {(-1)^n}{n^3}\right|+\left| \frac {(-1)^k}{k^3}\right|= [/mm] ...
die dreiecksungleichung benutzt? weil es ist doch [mm] |a-b|\not=|a+b|
[/mm]
oder falls ich da auf dem falschen dampfer bin: wieso kann du diesen schritt so machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Sa 19.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja er hat die Dreiecksungleichung benutz|a-b|=|a+(-b)| also kannst du die gewohnte dreiecksungl benutzen. Vorsicht! sicher NICHT mit dem - dazwischen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 Sa 19.11.2011 | | Autor: | saendra |
danke! also ich hab noch 2 zwischenschritte eingefügt
... [mm] =\left| \frac {(-1)^n}{n^3} -\frac {(-1)^k}{k^3}\right|= [blue]\left| \frac {(-1)^n}{n^3} +\left(-\frac {(-1)^k}{k^3}\right)\right| \le \left| \frac {(-1)^n}{n^3}\right|+\left| -\frac {(-1)^k}{k^3}\right|[/blue] [/mm] = [mm] \left| \frac {(-1)^n}{n^3}\right|+\left| \frac {(-1)^k}{k^3}\right|= [/mm] ...
so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Sa 19.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig ist es, aber wohl nicht nötig, da es einfach aus der eigenschaft von beträgen folgt. aber wenn du es so beser siehst und merken kannst ist es gut so.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Sa 19.11.2011 | | Autor: | saendra |
danke
eine winzigkeit bereitet mir noch sorgen: [mm] ...\left| \frac {(-1)^n}{n^3}\right|+\left| \frac {(-1)^k}{k^3}\right|=\frac{1}{n^3}+\frac{1}{k^3}\le\frac{2}{n_0^3} [/mm]
fallen die [mm] (-1)^{bla} [/mm] einfach weg wenn ich den btrag "zieh"? (was ist eigentlich die fachbezeichung für "betrag ziehen"?)
und wie kommt man auf die die 2 im zähler bei [mm] \frac{2}{n_0^3}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:06 So 20.11.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
[mm] (-1)^k [/mm] kann 1 oder -1 sein also ist der Betrag immer 1.
man sagt den Betrag von ...nehmen (oder bilden)
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:23 So 20.11.2011 | | Autor: | saendra |
vielen dank euch!
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