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Cauchyfolge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:38 Fr 23.11.2007
Autor: BluemchenLuene

Aufgabe
Es sei [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] eine Folge in [mm] \IK [/mm] mit der Eigenschaft, dass ein q [mm] \in [/mm] (0,1) existiert mit

[mm] \left| a_{n+1} - a_n \right| \le q \left| a_n - a_{n-1} \right| \forall n \ge 2 [/mm] .


Zeigen Sie, dass [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] konvergiert.

Tipp: Beweisen Sie zunächst, dass [mm] \left| a_{n+1} - a_n \right| \le q^{n-1} \left| a_2 - a_1 \right| , n \in \IN [/mm] und folgern Sie, dass [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] eine Cauchyfolge ist.

Hallo,

ich hab keine Ahnung, wie ich den Tipp nutzen kann.
Cauchyfolgen sind konvergente Folgen, also müsste ich ja irgendwie beweisen, dass die, in der Aufgabestelung gegebene, Folge eine Cauchyfolge ist. Nur wie kann ich mit dem Tipp verfahren? Muss ich die Ungleichung in der Aufgabenstellung nutzen, um die im Tipp beweisen zu können oder gilt hier etwas, das in der Ungleichung oben nicht gilt? Dann müsste ich ja beweisen, dass die Ungleichung im Tipp konvergent ist, damit ich schlussfolgern kann, dass es eine Cauchyfolge ist, oder? Nur weiß ich nicht, was mir das nützen soll. Ich kann doch daraus nicht schlussfolgern, dass auch die Ungleichung in der Aufgabenstellung eine Cauchyfolge ist, oder?
LG

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Cauchyfolge: erste Tipps
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:24 Fr 23.11.2007
Autor: piet.t

Hallo und [willkommenmr]

die Ungleichung im Tpp ist sicher nicht konvergent, wie soll denn auch eine Ungleichung konvergieren [verwirrt]

Spaß beiseite: Ja, Du muss die Ungleichung im Tipp aus der Ungleichung in der Aufgabenstellung folgern.
Um die Cauchy-Eigenschaft für [mm] a_n [/mm] nachweisen zu können musst Du dann ja Ausdrücke der Art [mm] $|a_{n+m}-a_n|$ [/mm] abschätzen. Um hier auf das benötigte Ergebnis zu kommen (schau Dir nochmal die Definition einer Chauchy-Folge an, was denn nun genau zu zeigen ist...) braucht man jetzt m.E. zwei Dinge: die Ungleichung aus dem Tipp und diegeometrische Reihe.

So, das waren erstmal noch ein paar Rätsel für heute - jetzt darfst Du ein bisschen knobeln.

Gruß

piet

Bezug
                
Bezug
Cauchyfolge: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:22 Di 27.11.2007
Autor: nickjagger

Mich bringt der Tipp irgendwie auch nicht weiter....
was soll denn aus dem Tipp enstehen....???

Bezug
                        
Bezug
Cauchyfolge: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:28 Do 29.11.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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