Cauchy Integralformel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Di 29.03.2016 | | Autor: | Reynir |
| Aufgabe | Sei f auf einem Gebiet G holomorph, das [mm] $\mathbb{\overline {H}}:=\{ z \in \mathbb{C}: Im(z) \geq 0 \}$ [/mm] enthält. Es gebe ein
[mm] $\alpha>0$ [/mm] und eine Konstante M > 0 mit [mm] $|z^\alpha [/mm] f(z)| [mm] \leq [/mm] M $ auf G. Man zeige für [mm] $a\in \mathbb{C}$ [/mm] mit $Im(a)>0$, dass
[mm] $f(a)=\frac{1}{2\pi i }\int_{-\infty}^\infty \frac{f(x)}{x-a} [/mm] dx$. |
Hallo,
ich wollte diese Aufgabe lösen, allerdings bin ich etwas verwirrt, wie ich das angehen soll. Es sollte wohl folgendes gemacht werden:
Man wählt einen Weg mit R und -R, welche auf der x-Achse liegen und einen Halbkreis mit Radius R, der in R und -R die x-Achse sberührt. Zu dem Integral soll man dann mit Cauchy's Integralformel kommen. Da kommt der Punkt, wo ich verwirrt bin, die ist doch erstmal nur für Kreise definiert, wie kann man das dann einfach so auf Halbkrise anwenden?
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Di 29.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei f auf einem Gebiet G holomorph, das [mm]\mathbb{\overline {H}}:=\{ z \in \mathbb{C}: Im(z) \geq 0 \}[/mm]
> enthält. Es gebe ein
> [mm]\alpha>0[/mm] und eine Konstante M > 0 mit [mm]|z^\alpha f(z)| \leq M[/mm]
> auf G.
Wie ist denn die Potenz [mm] z^\alpha [/mm] auf G definiert ???
Oder lautet die Vor. vielleicht so: [mm]|z|^\alpha | f(z)| \leq M[/mm] auf G ?
Kläre das !
> Man zeige für [mm]a\in \mathbb{C}[/mm] mit [mm]Im(a)>0[/mm], dass
> [mm]f(a)=\frac{1}{2\pi i }\int_{-\infty}^\infty \frac{f(x)}{x-a} dx[/mm].
>
> Hallo,
> ich wollte diese Aufgabe lösen, allerdings bin ich etwas
> verwirrt, wie ich das angehen soll. Es sollte wohl
> folgendes gemacht werden:
> Man wählt einen Weg mit R und -R, welche auf der x-Achse
> liegen und einen Halbkreis mit Radius R, der in R und -R
> die x-Achse sberührt. Zu dem Integral soll man dann mit
> Cauchy's Integralformel kommen. Da kommt der Punkt, wo ich
> verwirrt bin, die ist doch erstmal nur für Kreise
> definiert, wie kann man das dann einfach so auf Halbkrise
> anwenden?
Sei a [mm] \in \IC [/mm] mit Im(a) >0. Dann Wähle R>0 so, dass a im Inneren von M liegt, wobei
[mm] M:=\{z \in \IC: |z| \le R, Im(z) \ge 0\}.
[/mm]
Ist dann [mm] \gamma_R, [/mm] der von Dir oben beschriebene Weg, so ist die Bildmenge von [mm] \gamma_R [/mm] gerade [mm] $=\partial [/mm] M$.
Nach der Cauchyschen Integralformel ist
[mm] $f(a)=\bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\gamma_R}^{}{\bruch{f(z)}{z-a} dz}$
[/mm]
Gruß FRED
> Viele Grüße,
> Reynir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 Sa 02.04.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
ich hatte leider nur diese Aufgabenstellung, aber die Frage hat sich geklärt.
Viele Grüße,
Reynir
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