Cauchy Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Mo 07.05.2007 | | Autor: | grashalm |
| Aufgabe | | Seien [mm] (x_{n})_{n\in \IN} [/mm] und [mm] (y_{n})_{n\in \IN} [/mm] Cauchy Folgen im metrischen Raum (X,d). Zeigen sie, dass [mm] (d(x_{n}, y_{n}))_{n\in \IN} [/mm] konvergiert. |
Mh also anwenden der Dreiecksungleichung kann hier helfen aber ich komm so noch nicht drauf kann mir das jemand zeigen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Di 08.05.2007 | | Autor: | maybe. |
versuch mal zu zeigen dass deine folge eine cauchy-folge in IR (!!!!) ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:18 Di 08.05.2007 | | Autor: | grashalm |
Mh hilft mir leider noch nicht. Kannst das ein wenig mehr ausschmücken?
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> Mh hilft mir leider noch nicht. Kannst das ein wenig mehr
> ausschmücken?
Hallo,
Die Folge $ [mm] (d(x_{n}, y_{n}))_{n\in \IN} [/mm] $ ist, wie mein Vorredner bereits sagte, eine Folge in [mm] \IR.
[/mm]
[mm] \IR [/mm] mit der Betragsmetrik ist vollständig, d.h. hier konvergiert jede Cauchyfolge.
Wenn es Dir also gelingt, zu zeigen, daß [mm] (d(x_{n}, y_{n}))_{n\in \IN} [/mm] CF in [mm] \IR [/mm] ist, hast Du die Konvergenz gezeigt.
Wie geht das?
Du zeigst, daß es zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] ein N gibt, so daß für alle [mm] n,m\ge [/mm] N gilt [mm] |d(x_{n}, y_{n})-d(x_{m}, y_{m})| \le \varepsilon.
[/mm]
Hierfür mußt Du verwenden, daß [mm] x_n [/mm] und [mm] y_n [/mm] CF in (X;d) sind, Eigenschaften der Metrik, vermutlich auch des Betrages.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:07 Di 08.05.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
als kleiner Tipp, es gilt
[mm] ||x|-|y||\le|x-y|
[/mm]
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Di 08.05.2007 | | Autor: | grashalm |
Was mich stört wie hatten schonmal ne Bemerkung in der Vorlesung das nicht jede Cauchyfolge konvergiert bei ner Metrik [mm] \IR [/mm] ohne {0}
Aber ein Widerspruchsbeweis soll das hier nicht sein oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Di 08.05.2007 | | Autor: | maybe. |
ich weiss jetzt nicht so ganz was du meinst mit
nicht jede Cauchyfolge konvergiert bei ner Metrik $ [mm] \IR [/mm] $ ohne {0}
aber fest steht dass deine Folge in IR liegt und dort jede c.f. konvergiert.
schreib doch mal hier rein was es bedeutet dass xn und yn c.f. sind und was es bedeutet dass d(xn,yn) eine c.f. in IR ist (also einfach nur definitionen rausschreiben)
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