Cauchy-verteilt < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei eine Cauchy-vert. Zufallsvariable mit der charakterist. Fkt. [mm] \Phi(t)=exp(-|t|).
[/mm]
Gesucht ist die Dichte f |
Hey, also ich komm nicht so richtig weiter mit der Aufgabe, mein Ansatz wäre:
allgemein gilt ja für char. Fkt.:
[mm] \Phi(t)=\integral_{-\infty}^{\infty}{exp(i*t*x)*f(x) dx}
[/mm]
Dies hätte ich dann gleichgesetzt:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{exp(i*t*x)*f(x) dx}=exp(-|t|) [/mm]
Nun weiss ich leider nicht weiter. Ist der Ansatz falsch oder wie könnte man jetzt weiter machen?
mfg piccolo
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Hey, ich hab noch n bissl was zu dem Thema gelesen, und es gibt ja ne Inversionsformel, damit würde gelten:
[mm] f(x)=\frac{1}{2*\pi}\integral_{-\infty}^{\infty}{exp(i*t*x)*exp(-|t|) dx}
[/mm]
nun sieht das ja so aus wie bei der Fouriertrafo, aber ich weiss leider nicht so recht, wie ich das jetzt weiter auflösen kann?
mfg piccolo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:03 Do 10.12.2009 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hey, ich hab noch n bissl was zu dem Thema gelesen, und es
> gibt ja ne Inversionsformel, damit würde gelten:
>
> [mm]f(x)=\frac{1}{2*\pi}\integral_{-\infty}^{\infty}{exp(i*t*x)*exp(-|t|) dx}[/mm]
Es soll sicher $dt$ und nicht $dx$ heissen.
> nun sieht das ja so aus wie bei der Fouriertrafo, aber ich
> weiss leider nicht so recht, wie ich das jetzt weiter
> auflösen kann?
Na, ausrechnen! Es ist doch [mm] $\int_{-\infty}^\infty e^{i t x} e^{-|t|} [/mm] dt = [mm] \int_{-\infty}^0 e^{i t x + t} [/mm] dt + [mm] \int_0^\infty e^{i t x - t} [/mm] dt = [mm] \int_{-\infty}^0 e^{(-i x - 1) t} [/mm] dt + [mm] \int_0^\infty e^{(i x - 1) t} [/mm] dt$.
Eine Stammfunktion von [mm] $e^{(-i x - 1) t}$ [/mm] und eine von [mm] $e^{(i x - 1) t}$ [/mm] solltest du sofort hinschreiben koennen.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 09.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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