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| Aufgabe | Seien a1,a2,...,an > 0.
Zeigen Sie mit Hilfe der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung, dass
[mm] (\summe_{i=1}^{n} ai)*(\summe_{j=1}^{n}(1/aj) \ge n^2
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo alle zusammen,
hoffentlich kann mir hier jemand weiterhelfen.
also ich kenne die CSU in der Form |x*y| [mm] \le [/mm] ||x|| * ||y||
Folglich habe ich versucht die Reihen aus der Aufgabenstellung irgendwie umzuformen, dass sich von der Form etwas Aehnliches ergibt, wie ||x|| mit
||x|| = [mm] \wurzel{(x1)^2,(x2)^2,...} [/mm] ist mir allerdings nicht gelungen...
Oder muss ich versuchen das [mm] n^2 [/mm] irgendwie als Summe zu schreiben und dann die Ungleichung umformen?
Bin ueber jeden Denkanstoß dankbar!
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Hallo Tensor5000 und herzich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Seien a1,a2,...,an > 0.
> Zeigen Sie mit Hilfe der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung,
> dass
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> [mm](\summe_{i=1}^{n} ai)*(\summe_{j=1}^{n}(1/aj) \ge n^2[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo alle zusammen,
> hoffentlich kann mir hier jemand weiterhelfen.
>
> also ich kenne die CSU in der Form |x*y| [mm]\le[/mm] ||x|| * ||y||
> Folglich habe ich versucht die Reihen aus der
> Aufgabenstellung irgendwie umzuformen, dass sich von der
> Form etwas Aehnliches ergibt, wie ||x|| mit
> ||x|| = [mm]\wurzel{(x1)^2,(x2)^2,...}[/mm] ist mir allerdings nicht
> gelungen...
> Oder muss ich versuchen das [mm]n^2[/mm] irgendwie als Summe zu
> schreiben und dann die Ungleichung umformen?
Cauchy-Schwarze Ungl. für Skalarprod.:
[mm] $\langle x,y\rangle^2\le\langle x,x\rangle\cdot{}\langle y,y\rangle$
[/mm]
Nun schreib dir das mal mit dem euklidischen Standardskalarprodukt für den [mm] $\IR^n$ [/mm] hin ...
>
> Bin ueber jeden Denkanstoß dankbar!
>
>
LG
schachuzipus
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$ [mm] \langle x,y\rangle^2\le\langle x,x\rangle\cdot{}\langle y,y\rangle [/mm] $
wäre dann:
[mm] (n1^2+n2^2+...nn^2)^2 \le (a1^2+a2^2+...an^2) [/mm] * [mm] (1/(a1)^2 [/mm] + [mm] 1/(a2)^2) [/mm] + ... [mm] 1/(an)^2 [/mm] )
hmm...rechte Seite ausmultiplizieren? bringt mich aber auch nicht weiter... :/
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Hallo nochmal,
> [mm]\langle x,y\rangle^2\le\langle x,x\rangle\cdot{}\langle y,y\rangle[/mm]
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> wäre dann:
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> [mm](n1^2+n2^2+...nn^2)^2 \le (a1^2+a2^2+...an^2)[/mm] * [mm](1/(a1)^2[/mm] +
> [mm]1/(a2)^2)[/mm] + ... [mm]1/(an)^2[/mm] )
>
> hmm...rechte Seite ausmultiplizieren? bringt mich aber auch
> nicht weiter... :/
Für [mm] $x=(x_1,x_2,\ldots,x_n), y=(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ [/mm] mit [mm] $x_i, y_i\neq [/mm] 0$ für alle [mm] $i=1,\ldots,n$ [/mm] ist
[mm] $\cdot{}=\left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2\right)\cdot{}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}y_i^2\right)\ge\left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i\right)^2$
[/mm]
Was ergibt sich damit für $x,y$ mit [mm] $y_i=\frac{1}{x_i}$ [/mm] für [mm] $i=1,\ldots,n$ [/mm] ?
Gruß
schachuzipus
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[mm] (\sum\limits_{i=1}^{n}\bruch{x_i^2}{y_1^2}) \ge (\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i)^2 [/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] (\sum\limits_{i=1}^{n}\bruch{x_i^2}{y_1^2}) \ge (\sum\limits_{i=1}^{n}\bruch{x_i}{y_i})^2
[/mm]
?
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Hiho,
was hast du denn da gemacht?
Du hattest doch schon:
$ [mm] \left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2\right)\cdot{}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}y_i^2\right)\ge\left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i\right)^2 [/mm] $
Das gilt jetzt für alle [mm] x_i [/mm] und [mm] y_i.
[/mm]
Jetzt mach doch mal das, was schachuzipus gesagt hat und betrachte den Spezialfall [mm] $y_i [/mm] = [mm] \bruch{1}{x_i}$
[/mm]
Was steht dann da?
MFG,
Gono.
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hehe, ich dachte das haette ich ?!
ok, ich versuchs nochmal
$ [mm] \left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2\right)\cdot{}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}y_i^2\right)\ge\left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i\right)^2 [/mm] $
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] (\summe_{i=1}^{n} x_i^2) [/mm] * [mm] (\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{x_i^2}) \ge (\summe_{i=1}^{n} \bruch{x_i}{x_i})^2 [/mm] = [mm] 1^2 [/mm] = 1
?
falls das richtig sein sollte, gilt das dann nicht nur fuer y = 1/x
und wie muss ich das mit dem [mm] \ge [/mm] 1 interpretieren?
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>$ [mm] (\summe_{i=1}^{n} \bruch{x_i}{x_i})^2 [/mm] = [mm] 1^2 [/mm] = 1$
Die Umformung ist falsch!
Schau sie dir nochmal an und dann schau, was zu zeigen solltest.
Welch Wunder, da kommt sogar das richtige raus 
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langsam wirds peinlich ^^
aber danke fuer eure Hilfe!
$ [mm] (\summe_{i=1}^{n} \bruch{x_i}{x_i})^2 [/mm] = [mm] 1^2 [/mm] = 1 $
vielleicht:
[mm] \gdw (\summe_{i=1}^{n} \bruch{x_i}{x_i})^2 [/mm] = [mm] (n*1)^2 [/mm] = [mm] n^2 [/mm] qed?
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Hiho,
> [mm]\gdw (\summe_{i=1}^{n} \bruch{x_i}{x_i})^2[/mm] = [mm](n*1)^2[/mm] = [mm]n^2[/mm]
> qed?
na da sind wir ja schon einen großes Stück weiter!
Welche Ungleichung hast du nun gezeigt durch CSU ?
Was wolltest du zeigen?
Geht das?
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ich habe gezeigt, dass fuer [mm] y_i [/mm] = [mm] \bruch{1}{x_i}
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n} a_i [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{y_i} \ge n^2
[/mm]
gilt, weil
[mm] \summe_{i=1}^{n}x_i^2 [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{x_i^2} \ge (\summe_{i=1}^{n} \bruch{x_i}{x_i})^2 [/mm] = [mm] n^2
[/mm]
oder?! :D
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richtet sich jetzt hauptsaechlich an Gonozal_IX:
also habe ich gezeigt, dass $ [mm] (\summe_{i=1}^{n} ai)\cdot{}(\summe_{j=1}^{n}(1/aj) \ge n^2 [/mm] $ gilt, weil
$ [mm] \langle x,y\rangle^2\le\langle x,x\rangle\cdot{}\langle y,y\rangle [/mm] $
mit $ [mm] y_i [/mm] = [mm] \bruch{1}{x_i} [/mm] $ genau
$ [mm] (\summe_{i=1}^{n} ai)\cdot{}(\summe_{j=1}^{n}(1/aj) \ge n^2 [/mm] $
ergibt?
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Hm,
deine Begründung ist unsauber und zeigt, dass du die Sache noch nicht verstanden hast......
Sauber wäre es:
Für alle x,y gilt die CSU,
mit euklidischem Skalarprodukt ergibt sich daraus:
$ [mm] \left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2\right)\cdot{}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}y_i^2\right)\ge\left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i\right)^2 [/mm] $
Mit [mm] $y_i [/mm] = [mm] \bruch{1}{x_i}$ [/mm] wird daraus:
$ [mm] \left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2\right)\cdot{}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_i^2}\right)\ge n^2$
[/mm]
Immer noch für alle [mm] x_i!
[/mm]
Zu gegebenen [mm] a_j [/mm] setze nun [mm] $x_i [/mm] = [mm] \sqrt{a_j}$. [/mm] Warum geht das?
MFG,
Gono.
PS: Nächstemal nutz bitte den Formeleditor vollständig, denn so halb geTeXte, halb Text Formeln lesen sich echt bescheiden.....
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Zu gegebenen $ [mm] a_j [/mm] $ setze nun $ [mm] x_i [/mm] = [mm] \sqrt{a_j} [/mm] $. Warum geht das?
weil [mm] a_j \ge [/mm] 0 ? :)
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jop
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 31.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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