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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Mi 08.06.2005 | | Autor: | cosPhi |
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
Hallo Forum!
Ich habe die Aufgabe, den Real- und Imaginärteil von ein paar Funktionen (z.B. tan z, cot z, sinh z, cosh z) als Funktionen von x und y darstzustellen (z = x + i*y).
Dann soll ich die Gültigkeit der Cauchy-Riemann Gleichungen für diese Funktionen überprüfen.
Durch eine Prüfung war ich leider an der vorletzten VO verhindert, wo das besprochen wurde. Cauchy-Riemann ist mir wenigstens ein Begriff, nachdem ich auch suchen kann.
Aber für den ersten Teil der Aufgabe fehlt mir leider jegliche Idee zum Ansatz, ich wüsste auch nicht, nach welchem Begriff ich zu suchen anfangen sollte.
Ich wäre sehr glücklich, wenn mir jemand zumindest einen Denkanstoß geben könnte, wie ich da überhaupt anfangen muss.
Vielen Dank!
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Hallo!
Die Idee ist folgende:
1. Du stellst $f(z)$ mit Hilfe von [mm] $e^{z}$ [/mm] dar.
2. Du zerlegst [mm] $e^{z}=e^{x+iy}=e^x*\cos y+i*e^x\sin [/mm] y$.
Zum Beispiel ist [mm] $\sinh(z)=\bruch{e^z-e^{-z}}{2}$...
[/mm]
Kannst du das Prinzip jetzt anwenden?
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 Mi 08.06.2005 | | Autor: | cosPhi |
Super danke, das hilft mir wirklich sehr weiter!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:49 Fr 10.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ich habe die Rechnung jetzt nicht überprüft, aber gehen wir mal davon aus, dass sie bis dahin richtig ist. 
> [mm]i * \bruch{ \sinh y * \cos x - i * \cosh y * \sin x}{\cosh y * \cos x - i * \sinh y * \sin x}[/mm]
Du kannst doch jetzt einfahc mit
[mm] $\cos(y) \cdot \cos(x) [/mm] +i [mm] \sinh(y) \cdot \sin(x)$
[/mm]
erweitern!
Dann erhältst du:
$i [mm] \cdot \frac{\left( \sinh (y) * \cos (x) - i * \cosh (y) * \sin (x) \right) \cdot \left( \cos(y) \cdot \cos(x) +i \sinh(y) \cdot \sin(x) \right)}{\cos^2(y)\cos^2(x) + \sinh^2(y) \sin^2(x)}$.
[/mm]
Das jetzt ausmultiplizieren und den Bruch in einen reellen und imaginären Anteil aufteilen. Dann bist du doch fertig, oder habe ich da jetzt eine Schwierigkeit übersehen?
Viele Grüße
Julius
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