Cauchy-Produkt von cos^2(x) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 Mi 10.12.2008 | | Autor: | scythe |
| Aufgabe | | Zeigen Sie mit dem Cauchy-Produkt, dass [mm] cos^2(x) = \frac{1}{2}(1+cos(2x)) \forall x \in \mathbb{R}[/mm] gilt. Es darf dabei ohne Beweis benutzt werden, dass [mm]\sum_{k=0}^{n}{2n \choose 2k} =2^{2n-1} \forall n \in \mathbb{N}[/mm] gilt. |
Hallo Matheraum,
Meine Rechnung führt leider zu einem falschen Ergebnis, hoffe ihr habt einen Tipp für mich, wo der Hund begraben liegt.
[mm] cos^2(x)=cos(x)*cos(x)
[/mm]
[mm] =(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}*x^{2n})*(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}*x^{2n})
[/mm]
[mm] =\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{(2k)!}*\frac{(-1)^{n-k}}{(2*(n-k))!})*x^{2n}
[/mm]
[mm] =\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^n}{(2k)!*(2n-2k)!}*\frac{(2n)!}{(2n)!})*x^{2n}
[/mm]
[mm] =\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{(-1)^n}{(2n)!}*\sum_{k=0}^{n}\frac{(2n)!}{(2k)!*(2n-2k)!})*x^{2n}
[/mm]
[mm] =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}*(\sum_{k=0}^{n}{2n \choose 2k})*x^{2n}
[/mm]
[mm] =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}*(2^{2n-1})*x^{2n}
[/mm]
[mm] =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}*2^{2n}*\frac{1}{2}*x^{2n}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}*\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}*(2x)^{2n}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}*(cos(2x))
[/mm]
Vielen Dank im vorraus :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:56 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie mit dem Cauchy-Produkt, dass [mm]cos^2(x) = \frac{1}{2}(1+cos(2x)) \forall x \in \mathbb{R}[/mm]
> gilt. Es darf dabei ohne Beweis benutzt werden, dass
> [mm]\sum_{k=0}^{n}{2n \choose 2k} =2^{2n-1} \forall n \in \mathbb{N}[/mm]
> gilt.
> Hallo Matheraum,
>
> Meine Rechnung führt leider zu einem falschen Ergebnis,
> hoffe ihr habt einen Tipp für mich, wo der Hund begraben
> liegt.
>
> [mm]cos^2(x)=cos(x)*cos(x)[/mm]
>
> [mm]=(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}*x^{2n})*(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}*x^{2n})[/mm]
>
> [mm]=\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{(2k)!}*\frac{(-1)^{n-k}}{(2*(n-k))!})*x^{2n}[/mm]
>
> [mm]=\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^n}{(2k)!*(2n-2k)!}*\frac{(2n)!}{(2n)!})*x^{2n}[/mm]
>
> [mm]=\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{(-1)^n}{(2n)!}*\sum_{k=0}^{n}\frac{(2n)!}{(2k)!*(2n-2k)!})*x^{2n}[/mm]
>
> [mm]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}*(\sum_{k=0}^{n}{2n \choose 2k})*x^{2n}[/mm]
>
> [mm]\red{=}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}*(2^{2n-1})*x^{2n}[/mm]
>
> [mm]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}*2^{2n}*\frac{1}{2}*x^{2n}[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{2}*\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}*(2x)^{2n}[/mm]
> [mm]=\frac{1}{2}*(cos(2x))[/mm]
>
> Vielen Dank im vorraus :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
der Hund liegt bei dem roten Gleichheitszeichen begraben. Du benutzt dort nämlich, dass [mm] $\sum_{k=0}^{n}{2n \choose 2k} =2^{2n-1}$ [/mm] für alle $n [mm] \in \blue{\IN_0}=\IN \overset{d}{\cup} \{0\}$ [/mm] gelten würde.
In Wahrheit gilt aber [mm] $\sum_{k=0}^{n}{2n \choose 2k} =2^{2n-1}$ [/mm] auch, wie es oben steht, für alle [mm] $\blue{n \in \IN=\{1,2,3,...\}}\,,$ [/mm] also nicht für $n=0$.
(Für $n=0$ ist [mm] $\sum_{k=0}^{n}{2n \choose 2k}={0 \choose 0}=1$, [/mm] aber [mm] $2^{2n-1}=2^{-1}=1/2 \not=1\,.$)
[/mm]
Also korrekt geht es nach dem roten Gleichheitszeichen so weiter:
[mm] $$\red{=}\left\{\underbrace{\frac{(-1)^0}{(2*0)!}*\left(\sum_{k=0}^{0}{2*0 \choose 2k}*x^{2*0}\right)}_{=1}\right\}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}*\left(\sum_{k=0}^{n}{2n \choose 2k}\right)*x^{2n}$$
[/mm]
[mm] $$=1+\frac{1}{2}\cdot{}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}\cdot{}(2x)^{2n}=:(\star)\,.$$
[/mm]
Schreibst Du nun noch [mm] $1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}*\frac{(-1)^0}{(2*0)!}\cdot{}(2x)^{2*0}\,,$ [/mm]
so folgt
[mm] $$(\star)=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}*\frac{(-1)^0}{(2*0)!}\cdot{}(2x)^{2*0}+\frac{1}{2}\cdot{}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}\cdot{}(2x)^{2n}\right)\,.$$
[/mm]
Ich denke, den Rest siehst Du 
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
