Cauchy-Produkt bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Definieren Sie das Produkt zweier Reihen [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}*z^{n} [/mm] und [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_{n}*z^{n} [/mm] .
Bestimmen sie dann das Produkt von [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{2^n}{n!}*z^{2*n} [/mm] |
Hallo,
ich komme irgendwie noch nicht so ganz "auf das Cauchy-Produkt" klar :).
Die Definition wäre:
Das Produkt zweier Potenzreihen [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}*z^{n} [/mm] und [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_{n}*z^{n} [/mm] ist definiert als die Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}c_{n}*z^{n}, [/mm] wobei [mm] c_{n}=a_{0}b_{n}+a_{1}*b_{n-1}+...+a_{n}*b_{0}=\summe_{i=0}^{n}a_{i}*b_{n-i} [/mm] .
So nun ist das Produkt der o.g. Reihe mit sich selbst zu bestimmen. Wir haben nie ein Beispiel in der Vorlesung gehabt, deswegen frage ich jetzt einfach blöd drauf los:
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{2^n}{n!}*z^{2*n}*\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{2^n}{n!}*z^{2*n}=\summe_{i=4}^{n}\bruch{2^i}{i!}*z^{2*i}*\bruch{2^{(n-i)}}{(n-i)!}*z^{2*(n-i)}
[/mm]
Kann ich das einfach so machen und dann vereinfachen ?
In meiner Lösung dazu wurde folgendes gemacht, was ich nicht ganz verstehen kann:
In diesem Fall ist:
[mm] a_{n}=b_{n}=\begin{cases} \bruch{2^{\bruch{n}{2}}}{\left(\bruch{n}{2}\right)!}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade und ungleich 0 oder 2} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Warum ?
Wenn n ungerade ist, ist entweder [mm] a_{i} [/mm] oder [mm] b_{n-i}=0, [/mm] daher [mm] c_{n}=0. [/mm] ist n gerade und $ n [mm] \le [/mm] 6 $ sind alle Terme =0 und sei $ n [mm] \ge [/mm] 8 $ dann ist
das produkt
[mm] \summe_{n=4}^{\infty}\bruch{2^n}{n!}(2^n-2-2n)*z^{2*n}
[/mm]
Dem kann ich gar nicht folgen. Kann jemand etwas licht in mein dunkel bringen ?
Lg
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Hallo eXeQteR,
> Definieren Sie das Produkt zweier Reihen
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}*z^{n}[/mm] und
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}b_{n}*z^{n}[/mm] .
>
> Bestimmen sie dann das Produkt von
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{2^n}{n!}*z^{2*n}[/mm]
> Hallo,
>
> ich komme irgendwie noch nicht so ganz "auf das
> Cauchy-Produkt" klar :).
>
> Die Definition wäre:
>
> Das Produkt zweier Potenzreihen
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}*z^{n}[/mm] und
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}b_{n}*z^{n}[/mm] ist definiert als die
> Potenzreihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}c_{n}*z^{n},[/mm] wobei
> [mm]c_{n}=a_{0}b_{n}+a_{1}*b_{n-1}+...+a_{n}*b_{0}=\summe_{i=0}^{n}a_{i}*b_{n-i}[/mm]
> .
>
> So nun ist das Produkt der o.g. Reihe mit sich selbst zu
> bestimmen. Wir haben nie ein Beispiel in der Vorlesung
> gehabt, deswegen frage ich jetzt einfach blöd drauf los:
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{2^n}{n!}*z^{2*n}*\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{2^n}{n!}*z^{2*n}=\summe_{i=4}^{n}\bruch{2^i}{i!}*z^{2*i}*\bruch{2^{(n-i)}}{(n-i)!}*z^{2*(n-i)}[/mm]
>
> Kann ich das einfach so machen und dann vereinfachen ?
Das kannst Du leider nicht so stehen lassen.
Es ist
[mm]\summe_{l=2}^{\infty}\bruch{2^l}{l!}*z^{2*l}*\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{2^k}{k!}*z^{2*k}=\summe_{l=2}^{\infty}\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{2^l}{l!}*z^{2*l}*\bruch{2^k}{k!}*z^{2*k}=\summe_{n=4}^{\infty}\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{2^l}{l!}*z^{2*l}*\bruch{2^{n-l}}{\left(n-l\right)!}*z^{2*\left(n-l\right)}[/mm]
[mm]=\summe_{n=4}^{\infty}\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{2^n}{l!*\left(n-l\right)!}*z^{2*n}[/mm]
>
> In meiner Lösung dazu wurde folgendes gemacht, was ich
> nicht ganz verstehen kann:
>
> In diesem Fall ist:
>
> [mm]a_{n}=b_{n}=\begin{cases} \bruch{2^{\bruch{n}{2}}}{\left(\bruch{n}{2}\right)!}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade und ungleich 0 oder 2} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
>
> Warum ?
Hier wurde eine Umindexierung durchgeführt.
>
> Wenn n ungerade ist, ist entweder [mm]a_{i}[/mm] oder [mm]b_{n-i}=0,[/mm]
> daher [mm]c_{n}=0.[/mm] ist n gerade und [mm]n \le 6[/mm] sind alle Terme =0
> und sei [mm]n \ge 8[/mm] dann ist
> das produkt
>
> [mm]\summe_{n=4}^{\infty}\bruch{2^n}{n!}(2^n-2-2n)*z^{2*n}[/mm]
Es ist
[mm]\summe_{l=0}^{n}\bruch{n!}{l!*\left(n-l\right)!}=2^{n}[/mm]
Jetzt läuft aber die Summe von l=2 bis l=n-2.
Demnach ist
[mm]\summe_{l=0}^{n}\bruch{n!}{l!*\left(n-l\right)!}=\pmat{n \\ 0}+\pmat{n \\ 1}+\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{n!}{l!*\left(n-l\right)!}+\pmat{n \\ n-1}+\pmat{n \\ n}=2^{n}[/mm]
Daraus ergibt sich
[mm]\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{n!}{l!*\left(n-l\right)!}=2^{n}-\pmat{n \\ 0}-\pmat{n \\ 1}-\pmat{n \\ n-1}-\pmat{n \\ n }=2^{n}-1-n-n-1=2^{n}-2n-2[/mm]
Damit gilt auch:
[mm]\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{1}{l!*\left(n-l\right)!}=\bruch{2^{n}-2n-2}{n!}[/mm]
>
> Dem kann ich gar nicht folgen. Kann jemand etwas licht in
> mein dunkel bringen ?
>
> Lg
Gruss
MathePower
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> Hallo eXeQteR,
Hi, vielen Dank für deine ausfürhliche Antwort.
>...
> Das kannst Du leider nicht so stehen lassen.
>
> Es ist
>
> [mm]\summe_{l=2}^{\infty}\bruch{2^l}{l!}*z^{2*l}*\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{2^k}{k!}*z^{2*k}=\summe_{l=2}^{\infty}\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{2^l}{l!}*z^{2*l}*\bruch{2^k}{k!}*z^{2*k}=\summe_{n=4}^{\infty}\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{2^l}{l!}*z^{2*l}*\bruch{2^{n-l}}{\left(n-l\right)!}*z^{2*\left(n-l\right)}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{n=4}^{\infty}\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{2^n}{l!*\left(n-l\right)!}*z^{2*n}[/mm]
Woher kommt in der vorletzten Umformung das n ? Wie hast du die Indizes verändert ? Ich bin nicht besonders geübt im Umgang mit diesen Summenzeichen. Habe das irgendwie nie richtig gelernt / lernen müssen. Es wurde überall immer einfach vorausgesetzt.
>
>...
>
> Hier wurde eine Umindexierung durchgeführt.
Okay, ganz doof gefragt: Wie kommt man darauf ?
>
>
>
> Es ist
>
>
> [mm]\summe_{l=0}^{n}\bruch{n!}{l!*\left(n-l\right)!}=2^{n}[/mm]
>
>
> Jetzt läuft aber die Summe von l=2 bis l=n-2.
>
> Demnach ist
>
> [mm]\summe_{l=0}^{n}\bruch{n!}{l!*\left(n-l\right)!}=\pmat{n \\ 0}+\pmat{n \\ 1}+\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{n!}{l!*\left(n-l\right)!}+\pmat{n \\ n-1}+\pmat{n \\ n}=2^{n}[/mm]
>
> Daraus ergibt sich
>
> [mm]\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{n!}{l!*\left(n-l\right)!}=2^{n}-\pmat{n \\ 0}-\pmat{n \\ 1}-\pmat{n \\ n-1}-\pmat{n \\ n }=2^{n}-1-n-n-1=2^{n}-2n-2[/mm]
>
> Damit gilt auch:
>
> [mm]\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{1}{l!*\left(n-l\right)!}=\bruch{2^{n}-2n-2}{n!}[/mm]
>
>
Also ich kann dir danach folgen, allerdings würde ich selber relativ ratlos davor sitzen... Kannst du mir meine Unklarheiten eventuell noch beseitigen ?
Lg
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Hallo eXeQteR,
> > Hallo eXeQteR,
>
> Hi, vielen Dank für deine ausfürhliche Antwort.
>
> >...
> > Das kannst Du leider nicht so stehen lassen.
> >
> > Es ist
> >
> >
> [mm]\summe_{l=2}^{\infty}\bruch{2^l}{l!}*z^{2*l}*\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{2^k}{k!}*z^{2*k}=\summe_{l=2}^{\infty}\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{2^l}{l!}*z^{2*l}*\bruch{2^k}{k!}*z^{2*k}=\summe_{n=4}^{\infty}\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{2^l}{l!}*z^{2*l}*\bruch{2^{n-l}}{\left(n-l\right)!}*z^{2*\left(n-l\right)}[/mm]
> >
> >
> [mm]=\summe_{n=4}^{\infty}\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{2^n}{l!*\left(n-l\right)!}*z^{2*n}[/mm]
>
> Woher kommt in der vorletzten Umformung das n ? Wie hast du
> die Indizes verändert ? Ich bin nicht besonders geübt im
> Umgang mit diesen Summenzeichen. Habe das irgendwie nie
> richtig gelernt / lernen müssen. Es wurde überall immer
> einfach vorausgesetzt.
Nun, es gibt die Exponenten 2l und 2(n-l).
Das sich bei der Multiplikation von gleichen Basen
mit unterschiedlichen Exponenten, dieselbigen addieren,
ergibt sich: [mm]2l+2\left(n-l\right)=2n[/mm]
Es ist bekannt, daß der minimale Exponent von z gleich 4 ist.
Danach muß auch [mm]2l \ge 4[/mm] bzw. [mm]2*\left(n-l\right) \ge 4[/mm] gelten.
Hieraus folgen die Grenzen der inneren Summe.
> >
> >...
> >
> > Hier wurde eine Umindexierung durchgeführt.
>
> Okay, ganz doof gefragt: Wie kommt man darauf ?
>
Normaler stünde hier [mm]a_{2n}[/mm].
Da in der Lösung ein [mm]a_{n}[/mm] steht,
ist hier eine Umindexierung vorgenommen worden.
Für n ungerade sind die Koeffizienten Null.
Für n gerade, wurde die Umindexierung [mm]n=2*\tilde{n}[/mm] vorgenommen.
> >
> >
> >
> > Es ist
> >
> >
> > [mm]\summe_{l=0}^{n}\bruch{n!}{l!*\left(n-l\right)!}=2^{n}[/mm]
> >
> >
> > Jetzt läuft aber die Summe von l=2 bis l=n-2.
> >
> > Demnach ist
> >
> > [mm]\summe_{l=0}^{n}\bruch{n!}{l!*\left(n-l\right)!}=\pmat{n \\ 0}+\pmat{n \\ 1}+\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{n!}{l!*\left(n-l\right)!}+\pmat{n \\ n-1}+\pmat{n \\ n}=2^{n}[/mm]
>
> >
> > Daraus ergibt sich
> >
> >
> [mm]\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{n!}{l!*\left(n-l\right)!}=2^{n}-\pmat{n \\ 0}-\pmat{n \\ 1}-\pmat{n \\ n-1}-\pmat{n \\ n }=2^{n}-1-n-n-1=2^{n}-2n-2[/mm]
>
> >
> > Damit gilt auch:
> >
> >
> [mm]\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{1}{l!*\left(n-l\right)!}=\bruch{2^{n}-2n-2}{n!}[/mm]
> >
> >
>
> Also ich kann dir danach folgen, allerdings würde ich
> selber relativ ratlos davor sitzen... Kannst du mir meine
> Unklarheiten eventuell noch beseitigen ?
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Hallo,
danke für die Antwort :)
> Hallo eXeQteR,
>
> > > Hallo eXeQteR,
> >
> > Hi, vielen Dank für deine ausfürhliche Antwort.
> >
> > >...
> > > Das kannst Du leider nicht so stehen lassen.
> > >
> > > Es ist
> > >
> > >
> >
> [mm]\summe_{l=2}^{\infty}\bruch{2^l}{l!}*z^{2*l}*\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{2^k}{k!}*z^{2*k}=\summe_{l=2}^{\infty}\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{2^l}{l!}*z^{2*l}*\bruch{2^k}{k!}*z^{2*k}=\summe_{n=4}^{\infty}\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{2^l}{l!}*z^{2*l}*\bruch{2^{n-l}}{\left(n-l\right)!}*z^{2*\left(n-l\right)}[/mm]
> > >
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> [mm]=\summe_{n=4}^{\infty}\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{2^n}{l!*\left(n-l\right)!}*z^{2*n}[/mm]
> >
> > Woher kommt in der vorletzten Umformung das n ? Wie hast du
> > die Indizes verändert ? Ich bin nicht besonders geübt im
> > Umgang mit diesen Summenzeichen. Habe das irgendwie nie
> > richtig gelernt / lernen müssen. Es wurde überall immer
> > einfach vorausgesetzt.
>
>
> Nun, es gibt die Exponenten 2l und 2(n-l).
Ah entschuldige, das meinte ich nicht. Ich sprach vom n=4 im Laufindex...
> Das sich bei der Multiplikation von gleichen Basen
> mit unterschiedlichen Exponenten, dieselbigen addieren,
> ergibt sich: [mm]2l+2\left(n-l\right)=2n[/mm]
>
> Es ist bekannt, daß der minimale Exponent von z gleich 4
> ist.
Weil wir bei der Summe mit n=2 anfangen ?
> Danach muß auch [mm]2l \ge 4[/mm] bzw. [mm]2*\left(n-l\right) \ge 4[/mm]
> gelten.
> Hieraus folgen die Grenzen der inneren Summe.
>
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> > >
> > >...
> > >
> > > Hier wurde eine Umindexierung durchgeführt.
> >
> > Okay, ganz doof gefragt: Wie kommt man darauf ?
> >
>
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> Normaler stünde hier [mm]a_{2n}[/mm].
>
> Da in der Lösung ein [mm]a_{n}[/mm] steht,
> ist hier eine Umindexierung vorgenommen worden.
>
> Für n ungerade sind die Koeffizienten Null.
Nun, aber wenn ich z.B. n=3 einsetze, dann wird doch [mm] \bruch{2^3}{3!} [/mm] nicht null oder ? Entschuldige meine Nachhakerei!
> Für n gerade, wurde die Umindexierung [mm]n=2*\tilde{n}[/mm]
> vorgenommen.
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> > > Es ist
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> > > [mm]\summe_{l=0}^{n}\bruch{n!}{l!*\left(n-l\right)!}=2^{n}[/mm]
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> > > Jetzt läuft aber die Summe von l=2 bis l=n-2.
> > >
> > > Demnach ist
> > >
> > > [mm]\summe_{l=0}^{n}\bruch{n!}{l!*\left(n-l\right)!}=\pmat{n \\ 0}+\pmat{n \\ 1}+\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{n!}{l!*\left(n-l\right)!}+\pmat{n \\ n-1}+\pmat{n \\ n}=2^{n}[/mm]
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> > >
> > > Daraus ergibt sich
> > >
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> [mm]\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{n!}{l!*\left(n-l\right)!}=2^{n}-\pmat{n \\ 0}-\pmat{n \\ 1}-\pmat{n \\ n-1}-\pmat{n \\ n }=2^{n}-1-n-n-1=2^{n}-2n-2[/mm]
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> > > Damit gilt auch:
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> [mm]\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{1}{l!*\left(n-l\right)!}=\bruch{2^{n}-2n-2}{n!}[/mm]
> > >
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> >
> > Also ich kann dir danach folgen, allerdings würde ich
> > selber relativ ratlos davor sitzen... Kannst du mir meine
> > Unklarheiten eventuell noch beseitigen ?
> >
> > Lg
>
>
> Gruss
> MathePower
Lg
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Hallo eXeQteR,
> Hallo,
>
> danke für die Antwort :)
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> > Hallo eXeQteR,
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> > > > Hallo eXeQteR,
> > >
> > > Hi, vielen Dank für deine ausfürhliche Antwort.
> > >
> > > >...
> > > > Das kannst Du leider nicht so stehen lassen.
> > > >
> > > > Es ist
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> [mm]\summe_{l=2}^{\infty}\bruch{2^l}{l!}*z^{2*l}*\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{2^k}{k!}*z^{2*k}=\summe_{l=2}^{\infty}\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{2^l}{l!}*z^{2*l}*\bruch{2^k}{k!}*z^{2*k}=\summe_{n=4}^{\infty}\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{2^l}{l!}*z^{2*l}*\bruch{2^{n-l}}{\left(n-l\right)!}*z^{2*\left(n-l\right)}[/mm]
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> [mm]=\summe_{n=4}^{\infty}\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{2^n}{l!*\left(n-l\right)!}*z^{2*n}[/mm]
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> > > Woher kommt in der vorletzten Umformung das n ? Wie hast du
> > > die Indizes verändert ? Ich bin nicht besonders geübt im
> > > Umgang mit diesen Summenzeichen. Habe das irgendwie nie
> > > richtig gelernt / lernen müssen. Es wurde überall immer
> > > einfach vorausgesetzt.
> >
> >
> > Nun, es gibt die Exponenten 2l und 2(n-l).
>
> Ah entschuldige, das meinte ich nicht. Ich sprach vom n=4
> im Laufindex...
Da die Potenzreihen, jede für sich mit dem Exponenten 4 beginnen,
beginnt deren Produkt beim Exponenten 8.
Weiterhin wurde hier der Exponent 2n gesetzt, so daß der Laufindex für n bei 4 beginnt.
>
> > Das sich bei der Multiplikation von gleichen Basen
> > mit unterschiedlichen Exponenten, dieselbigen
> addieren,
> > ergibt sich: [mm]2l+2\left(n-l\right)=2n[/mm]
> >
> > Es ist bekannt, daß der minimale Exponent von z gleich 4
> > ist.
>
> Weil wir bei der Summe mit n=2 anfangen ?
Richtig.
>
> > Danach muß auch [mm]2l \ge 4[/mm] bzw. [mm]2*\left(n-l\right) \ge 4[/mm]
> > gelten.
> > Hieraus folgen die Grenzen der inneren Summe.
> >
> >
> > > >
> > > >...
> > > >
> > > > Hier wurde eine Umindexierung durchgeführt.
> > >
> > > Okay, ganz doof gefragt: Wie kommt man darauf ?
> > >
> >
> >
> > Normaler stünde hier [mm]a_{2n}[/mm].
> >
> > Da in der Lösung ein [mm]a_{n}[/mm] steht,
> > ist hier eine Umindexierung vorgenommen worden.
> >
> > Für n ungerade sind die Koeffizienten Null.
>
> Nun, aber wenn ich z.B. n=3 einsetze, dann wird doch
> [mm]\bruch{2^3}{3!}[/mm] nicht null oder ? Entschuldige meine
> Nachhakerei!
In der Lösung sind für n gerade fast alle [mm]a_{n} \not= 0[/mm] .
Während für n ungerade, alle [mm]a_{n}=0[/mm] sind.
>
> > Für n gerade, wurde die Umindexierung [mm]n=2*\tilde{n}[/mm]
> > vorgenommen.
> >
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> > > > Es ist
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> > > > [mm]\summe_{l=0}^{n}\bruch{n!}{l!*\left(n-l\right)!}=2^{n}[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > Jetzt läuft aber die Summe von l=2 bis l=n-2.
> > > >
> > > > Demnach ist
> > > >
> > > > [mm]\summe_{l=0}^{n}\bruch{n!}{l!*\left(n-l\right)!}=\pmat{n \\ 0}+\pmat{n \\ 1}+\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{n!}{l!*\left(n-l\right)!}+\pmat{n \\ n-1}+\pmat{n \\ n}=2^{n}[/mm]
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> > >
> > > >
> > > > Daraus ergibt sich
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{n!}{l!*\left(n-l\right)!}=2^{n}-\pmat{n \\ 0}-\pmat{n \\ 1}-\pmat{n \\ n-1}-\pmat{n \\ n }=2^{n}-1-n-n-1=2^{n}-2n-2[/mm]
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> > >
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> > > > Damit gilt auch:
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> >
> [mm]\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{1}{l!*\left(n-l\right)!}=\bruch{2^{n}-2n-2}{n!}[/mm]
> > > >
> > > >
> > >
> > > Also ich kann dir danach folgen, allerdings würde ich
> > > selber relativ ratlos davor sitzen... Kannst du mir meine
> > > Unklarheiten eventuell noch beseitigen ?
> > >
> > > Lg
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Lg
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 Mi 24.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Da die Potenzreichen,
Oho ! In welchem Forum sind wir eigentlich .......
FRED
> jede für sich mit dem Exponenten 4
> beginnen,
> beginnt deren Produkt beim Exponenten 8.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Mi 24.03.2010 | | Autor: | MathePower |
Hallo fred97,
>
> > Da die Potenzreichen,
>
>
> Oho ! In welchem Forum sind wir eigentlich .......
Ich habs soeben korrigiert.
>
> FRED
>
>
>
> > jede für sich mit dem Exponenten 4
> > beginnen,
> > beginnt deren Produkt beim Exponenten 8.
Gruss
MathePower
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Hallo,
ich muss das Thema hier leider nochmal aufgreifen, ich bin bei meiner Wiederholung für die Klausur wieder auf diesen Thread gestoßen und mir ist klar geworden, dass ich das Prinzip des Umindexierung / des Cauchy-Produktes für diesen speziellen Fall noch nicht wirklich verstanden habe (ich kann es zwar auswendig, aber verstehe es noch nicht so wirklich). Also nochmal ganz konkret:
Gegeben ist obige Reihe [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{2^n}{n!}*z^{2n} [/mm] .
Zu bestimmen ist das Cauchy-Produkt der Reihe mit sich selbst.
Angenommen, ich wollte die Cauchy-Produktformel, die für reihen [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] und [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_n [/mm] sagt, dass [mm] \left(\summe_{n=0}^{\infty}a_n\right)*\left(\summe_{n=0}^{\infty}b_n\right)=\summe_{i=0}^{\infty}a_i*b_{n-i}, [/mm] anwenden. Wieso bekomme ich hier zuerst eine Doppelsumme, wie MathePower sie oben beschrieben hat ? Wenn ich gleich zu anfang umindexiere und die Summation von n=0 beginnen lasse, könnte ich dann die gegebene Formel anwenden ?
Das Prinzip ist mir nicht ganz klar. Weiterhin kann ich nicht nachvollziehen, wie diese Umformung zustande kommt:
[mm] \summe_{l=2}^{\infty}\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{2^l}{l!}\cdot{}z^{2\cdot{}l}\cdot{}\bruch{2^k}{k!}\cdot{}z^{2\cdot{}k}=\summe_{n=4}^{\infty}\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{2^l}{l!}\cdot{}z^{2\cdot{}l}\cdot{}\bruch{2^{n-l}}{\left(n-l\right)!}\cdot{}z^{2\cdot{}\left(n-l\right)}
[/mm]
Wie genau wurden die Indizes verändert ? ich meine zu sehen, dass k=n-l gesetzt wurde. Ich komme leider nicht ganz dahinter, wie sich aus den von MathePower genannten Ungleichungen mit $ 2l [mm] \ge [/mm] 4 $ und $ [mm] 2\cdot{}\left(n-l\right) \ge [/mm] 4 $ die neuen Grenzen für die Summe ergeben. Vollkommen unabhängig davon, welcher Gedanke bringt mich dazu, die Summe dahingehend umzuschreiben ? Welche Beobachtung bringt mich dazu ?
Das waren jetzt reichlich Fragen und ich hoffe es nimmt sich nochmal jemand dieser probleme an !
Vielen Dank schonmal !
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:35 Di 27.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich muss das Thema hier leider nochmal aufgreifen, ich bin
> bei meiner Wiederholung für die Klausur wieder auf diesen
> Thread gestoßen und mir ist klar geworden, dass ich das
> Prinzip des Umindexierung / des Cauchy-Produktes für
> diesen speziellen Fall noch nicht wirklich verstanden habe
> (ich kann es zwar auswendig, aber verstehe es noch nicht so
> wirklich). Also nochmal ganz konkret:
>
> Gegeben ist obige Reihe
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{2^n}{n!}*z^{2n}[/mm] .
> Zu bestimmen ist das Cauchy-Produkt der Reihe mit sich
> selbst.
>
> Angenommen, ich wollte die Cauchy-Produktformel, die für
> reihen [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] und
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}b_n[/mm] sagt, dass
> [mm]\left(\summe_{n=0}^{\infty}a_n\right)*\left(\summe_{n=0}^{\infty}b_n\right)=\summe_{i=0}^{\infty}a_i*b_{n-i},[/mm]
> das stimmt doch nicht !
Es ist
[mm]\left(\summe_{n=0}^{\infty}a_n\right)*\left(\summe_{n=0}^{\infty}b_n\right)=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{i=0}^{n}a_i*b_{n-i}),[/mm]
FRED
> anwenden. Wieso bekomme ich hier zuerst eine Doppelsumme,
> wie MathePower sie oben beschrieben hat ? Wenn ich gleich
> zu anfang umindexiere und die Summation von n=0 beginnen
> lasse, könnte ich dann die gegebene Formel anwenden ?
>
> Das Prinzip ist mir nicht ganz klar. Weiterhin kann ich
> nicht nachvollziehen, wie diese Umformung zustande kommt:
>
> [mm]\summe_{l=2}^{\infty}\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{2^l}{l!}\cdot{}z^{2\cdot{}l}\cdot{}\bruch{2^k}{k!}\cdot{}z^{2\cdot{}k}=\summe_{n=4}^{\infty}\summe_{l=2}^{n-2}\bruch{2^l}{l!}\cdot{}z^{2\cdot{}l}\cdot{}\bruch{2^{n-l}}{\left(n-l\right)!}\cdot{}z^{2\cdot{}\left(n-l\right)}[/mm]
>
> Wie genau wurden die Indizes verändert ? ich meine zu
> sehen, dass k=n-l gesetzt wurde. Ich komme leider nicht
> ganz dahinter, wie sich aus den von MathePower genannten
> Ungleichungen mit [mm]2l \ge 4[/mm] und [mm]2\cdot{}\left(n-l\right) \ge 4[/mm]
> die neuen Grenzen für die Summe ergeben. Vollkommen
> unabhängig davon, welcher Gedanke bringt mich dazu, die
> Summe dahingehend umzuschreiben ? Welche Beobachtung bringt
> mich dazu ?
>
> Das waren jetzt reichlich Fragen und ich hoffe es nimmt
> sich nochmal jemand dieser probleme an !
>
> Vielen Dank schonmal !
>
> Lg
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Hallo,
danke für die antwort. Das zweite Summenzeichen ist mir durchgerutscht, entschuldigung. Verbessere das.
Angenommen die Reihe startet bei n=2 und gehts bis [mm] \infty [/mm] , wie genau lege ich dann die Indizes fest ? Woraus ergibt sich die obere Grenze n-2 in der innren Summe ? l=2 ist mir klar.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Mi 28.04.2010 | | Autor: | MontBlanc |
hi,
ich wäre durchaus noch an einer erklärung interessiert. Deshalb ist der Status auch verlängert!
Danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Mi 05.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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