Cauchy-Problem lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 So 10.11.2013 | | Autor: | Phil92 |
Hallo zusammen,
ich habe folgende DG gegeben: y''(x)-y(x) = 0
Wenn ich diese nun auflöse, bekomme ich: y = [mm] C1*e^{x}+C2*e^{-x} [/mm] (stimmt auch so laut wolframalpha).
Ich habe nun das Folgende Cauchy-Problem gegeben:
y(0) = 0 und y'(0) = 1
Nun muss ich ja die DG nur bis zur ersten Ableitung hin auflösen. Da bekomme ich dann: y'(x) = [mm] \wurzel{y^{2}+2C1}
[/mm]
Nun setze ich ich y'(0) = 1 ein und bekomme C1 = 1/2
Wenn ich diese Konstante C1 nun zusammen mit dem Cauchy-Problem y(0) = 0 in y = [mm] C1*e^{x}+C2*e^{-x} [/mm] einsetze, bekomme ich für C2 = -1/2. Zum Schluss erhalte ich, wenn ich beide Konstanten einsetze:
y(x) = [mm] \bruch{1}{2}*e^{x}-\bruch{1}{2}*e^{-x}.
[/mm]
Ist diese Lösung korrekt, oder habe ich mich zwischendrin irgendwo verrechnet?
Bin für jedes Feedback dankbar :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 So 10.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
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> ich habe folgende DG gegeben: y''(x)-y(x) = 0
>
> Wenn ich diese nun auflöse, bekomme ich: y =
> [mm]C1*e^{x}+C2*e^{-x}[/mm] (stimmt auch so laut wolframalpha).
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> Ich habe nun das Folgende Cauchy-Problem gegeben:
> y(0) = 0 und y'(0) = 1
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> Nun muss ich ja die DG nur bis zur ersten Ableitung hin
> auflösen. Da bekomme ich dann: y'(x) = [mm]\wurzel{y^{2}+2C1}[/mm]
>
Was machst Du da ?
> Nun setze ich ich y'(0) = 1 ein und bekomme C1 = 1/2
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> Wenn ich diese Konstante C1 nun zusammen mit dem
> Cauchy-Problem y(0) = 0 in y = [mm]C1*e^{x}+C2*e^{-x}[/mm] einsetze,
> bekomme ich für C2 = -1/2. Zum Schluss erhalte ich, wenn
> ich beide Konstanten einsetze:
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> y(x) = [mm]\bruch{1}{2}*e^{x}-\bruch{1}{2}*e^{-x}.[/mm]
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> Ist diese Lösung korrekt,
Ja
FRED
> oder habe ich mich zwischendrin
> irgendwo verrechnet?
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> Bin für jedes Feedback dankbar :)
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