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| Aufgabe | Sei r= [mm] (rn)n\in \IN \in \IQ^\IN [/mm] rekursiv definiert durch r1 = 1 und rn+1= [mm] 1+\bruch{1}{1+rn} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1.
Zeige, dass r eine Cauchy Folge ist. |
Ich weiß leider noch nicht wie ich das genau machen soll. Die Definition ist ja klar aber wie ioch die anwende noch nicht so 100% und besonders verwirrt mich die rekursiv definierte Folge
Vielleicht kann mir ja jemand das erklären
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:47 Mi 11.01.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei r= [mm](r_n)n\in \IN \in \IQ^\IN[/mm] rekursiv definiert durch
> [mm] $r_1 [/mm] = 1$ und [mm]r_{n+1}= 1+\bruch{1}{1+r_n}[/mm] für [mm]n \ge 1[/mm].
> Zeige, dass r eine Cauchy Folge ist.
> Ich weiß leider noch nicht wie ich das genau machen soll.
> Die Definition ist ja klar aber wie ioch die anwende noch
> nicht so 100% und besonders verwirrt mich die rekursiv
> definierte Folge
>
> Vielleicht kann mir ja jemand das erklären
Du musst für den Nachweis doch den Ausdruck
[mm] |r_n-r_m| [/mm]
irgendwie abschätzen. Fang dazu mit [mm] |r_{n+1}-r_n| [/mm] an!
Tipp: [mm] r_{n+1}= \bruch{2+r_n}{1+r_n} > 1[/mm] für [mm] $n\ge [/mm] 1$.
Viele Grüße
Rainer
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Also ich hab das jetzt so abgeschätzt:
|rn+1 - rn|= [mm] |\bruch{2+rn}{1+rn}-rn| [/mm] = [mm] |\bruch{2- rn^2}{1+ rn} [/mm] | < [mm] |\bruch{2}{rn}-rn [/mm] | < [mm] |\bruch{2}{rn} [/mm] | [mm] \Rightarrow \bruch{2}{rn} [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw \bruch{2}{\varepsilon} [/mm] < rn
Ist das so richtig?
Und wenn ja wie mache ich da jetzt weiter. Ich muss ja nun jetzt zeigen das [mm] \bruch{2}{\varepsilon} [/mm] < rn gilt.
Mache ich das nicht durch Induktion nach n?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Mi 11.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst nicht erwarten, dass so me grobe Abschätzung klappt.
dass [mm] 2/r_n<\epsilon [/mm] sein soll, wo man direkt sieht, dass [mm] r_n>1 [/mm] für alle n gilt kannst du nicht erwarten!
vielleicht hilft dir, wenn du erst den GW errechnest unter der Annahme, dass er existiert.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Do 12.01.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also ich hab das jetzt so abgeschätzt:
> |rn+1 - rn|= [mm]|\bruch{2+rn}{1+rn}-rn|[/mm] = [mm]|\bruch{2- rn^2}{1+ rn}[/mm]
> | < [mm]|\bruch{2}{rn}-rn[/mm] | < [mm]|\bruch{2}{rn}[/mm] | [mm]\Rightarrow \bruch{2}{rn}[/mm]
> < [mm]\varepsilon \gdw \bruch{2}{\varepsilon}[/mm] < rn
Es wäre hilfreich, wenn du die Indizes richtig schreiben würdest...
Deine Ungleichungskette ist nicht ganz richtig:
[mm] |r_{n+1} - r_n|= |\bruch{2+r_n}{1+r_n}-r_n| = >\bruch{2- r_n^2}{1+ r_n}| < |\bruch{2}{r_n}-r_n|[/mm]
stimmt, aber der nächste Schritt stimmt nur für [mm] $r_n<2$, [/mm] was du noch nicht nachgeweisen hast.
Aber wenn [mm] $r_n<2$, [/mm] kannst du deine Bedingung [mm]\bruch{2}{\varepsilon}
Was ich meinte, war
[mm]|r_{n+1}-r_{n}| = \left|1+\bruch{1}{1+r_n} -1 - \bruch{1}{1+r_{n-1}}\right| [/mm]
durch [mm] $|r_{n}-r_{n-1}|$ [/mm] auszudrücken, dann per Induktion durch [mm] $|r_1-r_0|$, [/mm] und damit eine Abschätzung für [mm] $|r_n-r_m|$ [/mm] abzuleiten.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Mi 11.01.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
das Iterationsverfahren ist definiert durch
[mm] x_{n+1}=f(x_n) [/mm] mit [mm] f(x)=1+\bruch{1}{1+x}
[/mm]
Zeige das gilt [mm] \left|f(x)-f(y)\right|
daraus folgt dann [mm] \left|x_{n+1}-x_n\right|
Daraus kann man schliessen das [mm] \left|x_m-x_k\right|<\bruch{c^{k-1}-c^{m-1}}{1-c}\left|x_2-x_1\right| [/mm] gilt für m>k
also [mm] \left|x_m-x_k\right|->0 [/mm] für [mm] k->\infty
[/mm]
Damit ist [mm] x_n [/mm] eine Cauchyfolge
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