Cauchy-Folge von Funktionen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Do 13.05.2010 | | Autor: | physicus |
Hallo Zusammen:
Leider schaffe ich nicht zu zeigen:
Sei [mm] (f_n) [/mm] eine Cauchy-Folge. (Ich weiss aber noch nicht, dass der zu betrachtende Raum vollständig ist.)
[mm]\parallel f_n - f_m \parallel < \varepsilon [/mm] für genug grosse n, m.
Nun sei:
[mm] \varepsilon = \varepsilon_k = 2^{-k} [/mm].
Es soll nun gezeigt werden, dass durch Induktion auf k eine streng monoton wachsende Folge [mm] (n_k) [/mm] existiert, so dass:
[mm] \parallel f_{n_{k+1}} - f_{n_k} \parallel < 2^{-k} [/mm]
Danke für die Hilfe!
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Hallo,
Idee: Bolzano-Weierstraß und dann durch vollst. Induktion über $\ k $ zeigen, dass das für alle $\ k [mm] \in \IN [/mm] $ gilt.
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Do 13.05.2010 | | Autor: | physicus |
Naja, aber ich weiss doch gar nicht, ob diese Cauchy-Folge beschränkt ist. Ich weiss nicht, dass der Raum vollständig ist, also ist nicht gesagt, dass die Cauchy-Folge konvergiert. Somit muss sie nicht zwingend beschränkt sein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Do 13.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Naja, aber ich weiss doch gar nicht, ob diese Cauchy-Folge
> beschränkt ist. Ich weiss nicht, dass der Raum
> vollständig ist, also ist nicht gesagt, dass die
> Cauchy-Folge konvergiert. Somit muss sie nicht zwingend
> beschränkt sein.
Doch, diese Cauchyfolge beschränkt. (Beweis aus dem Cauchy-Kriterium und der Dreiecksungleichung).
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Do 13.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\parallel f_{n_{k+1}} - f_{n_k} \parallel < 2^{-k} [/mm]
Wenn [m]f_{n_k}[/m] so gewählt ist, dass für alle [m]n\ge n_k[/m] [m]\parallel f_{n} - f_{n_k} \parallel < 2^{-k} [/m] gilt, dann wähle ich [m]n_{k+1}>n_k[/m] so, dass für alle [m]m>n_{k+1}[/m] dann [m]\parallel f_{m} - f_{n_{k+1}} \parallel < 2^{-(k+1)} [/m] gilt.
SEcki
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