Cauchy-Folge und ähnliches < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 Mi 28.11.2007 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Aufgabe:
Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine Abbildung, so dass für ein C [mm] \in \IR [/mm] mit 0 [mm] \le [/mm] C < 1 gilt:
|f(x) - f(y)| [mm] \le [/mm] C |x-y| für alle x,y [mm] \in \IR. [/mm] Für a [mm] \in \IR [/mm] sei die Folge [mm] (z_n) [/mm] definiert durch [mm] z_0 [/mm] = a und [mm] z_{n+1} [/mm] = [mm] f(z_n). [/mm] Beweisen Sie:
a) [mm] |z_{n+1} [/mm] - [mm] z_n| \le C^n |z_1 [/mm] - [mm] z_0|.
[/mm]
b) [mm] (z_n) [/mm] ist eine Cauchy-Folge.
c) Sei z = lim [mm] z_n. [/mm] Dann gilt f(z) = z.
d) z ist unabhängig von a. |
So... dies ist erst einmal eine sehr verwirrende Aufgabenstellung. Ich glaube, ich habe mich jetzt geschlagene 3 Tage eingelesen, um überhaupt erst einmal eine grobe Ahnung zu bekommen, was überhaupt gefragt ist. ^^
Besonders die nicht näher spezifizierte Abbildung hat mir etwas zu schaffen gemacht, da die Vorgaben ja theoretisch sogar auf die identische Abbildung id passen würde - aber das wäre ja eine relativ langweilige Geschichte. Was ich damit ausdrücken möchte: Sehr allgemein gehaltene Aufgabenstellungen bereiten mir regelmäßig sehr großes Kopfzerbrechen...
Bisher hat es zumindest zu ein paar Lösungideen gereicht, die ich hier mal in die Runde werfen möchte:
a) Hier dachte ich zunächst an eine Induktion über n:
Induktionsbeginn n = 0: [mm] |z_{1} [/mm] - [mm] z_0| \le |z_1 [/mm] - [mm] z_0| \checkmark
[/mm]
Aber der Induktionsschritt ist schon wieder eine Nummer zu kompliziert für mich, falls ich keinen Kniff übersehen haben sollte.
Ich überlege auch, ob es nicht über Defnitionen (Cauchy u.a.) gehen müsste - aber das ist alles noch sehr unausgegoren... bevor ich mich da ohne Ende verrenne, wäre ich für einen Tipp sehr dankbar, auf welchen Pfaden ich mich weiter versuchen sollte ;)
b) Zu zeigen: [mm] (z_n) [/mm] ist Cauchy-Folge.
Hier gehe ich schon einmal davon aus, dass a) gilt und nehme mir die Definition einer Cauchy-Folge vor:
[mm] [quote](z_n) [/mm] ist Cauchy-Folge [mm] \gdw \forall \epsilon \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] m,n [mm] \ge [/mm] N : [mm] |a_m [/mm] - [mm] a_n| [/mm] < [mm] \epsilon[/quote]
[/mm]
Dies passt ja "zufällig" ganz gut überein mit [mm] |z_{n+1} [/mm] - [mm] z_n| \le C^n |z_1-z_0|.
[/mm]
Sei N [mm] \in \IN [/mm] genügend groß mit n,m [mm] \ge [/mm] N und m im speziellen gewählt als n+1, so dass [mm] |z_{n+1} [/mm] - [mm] z_n| \le \epsilon, [/mm] so ist [mm] (z_n) [/mm] Cauchy-Folge.
Es ist also zu zeigen, dass [mm] C^n|z_1 [/mm] - [mm] z_0| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für genügend große n [mm] (\ge [/mm] N).
Hier betrachte ich, dass 0 [mm] \le [/mm] C < 1 ist, und somit für für eine Folge [mm] (c_n) [/mm] mit den Gliedern [mm] C^n [/mm] gilt, dass sie für n [mm] \mapsto \infty [/mm] gegen 0 konvergiert.
Also konvergiert auch die Folge [mm] (c_n) [/mm] mit den Gliedern [mm] xC^n [/mm] mit dem reellen Faktor x = [mm] |z_1 [/mm] - [mm] z_0| [/mm] gegen 0.
Aus der [mm] \epsilon [/mm] -Definition der Konvergenz folgt also: [mm] C^n|z_1 [/mm] - [mm] z_0| [/mm] < [mm] \epsilon \Rightarrow (z_n) [/mm] ist Cauchyfolge.
c) Zu zeigen: Sei z = lim [mm] z_n. [/mm] Dann gilt f(z) = z
Hier würde ich mit der Definition der Cauchyfolge und der Definition der Folge [mm] (z_n) [/mm] argumentieren, in der Theorie - praktisch häng ich grad etwas auf dem Schlauch - da denk ich noch mal ein wenig drüber nach...
Aber mit [mm] z_{n+1} [/mm] = [mm] f(z_n), [/mm] f(z) = z kann nicht größer z sein und der epsilon-Konvergenz [mm] (|z_{n+1}-z_n| \le \epsilon [/mm] )sollte eigentlich etwas zu machen sein...
d) Zu zeigen: z ist unabhängig von a.
hier muss gezeigt werden, dass aus lim [mm] z_n [/mm] = z für a und lim [mm] z_n [/mm] = z' für a' folgt z = z', wobei ich den Tipp bekommen habe, dass die Umformung z' = z [mm] \gdw [/mm] z' - z = 0 wohl hilfreich sein soll... aber auch da lichtet sich der Nebel bisher nur spärlich.
Ich wäre für Tipps sehr dankbar :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Mi 28.11.2007 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Zur Aufgabe a fällt mir eigentlich nur ein, dass das ganze nach einer Abschätzung des Banachschen Fixpunktsatzes aussieht. Google da vielleicht mal nach, da wird sich eventuell was finden. Wenn du es selbst versuchen willst, wende einfach Kontraktion, Dreiecksungleichung und die Rekursive Definition deiner Folge an, da wirst du schon auf irgendwas kommen, wenn du ein bisschen überlegst.
Aufgabe b lässt sich meiner meinung nach mit a lösen. Mit dieser Ungleichung, wirst du darauf kommen, dass eine beliebige Cauchy-Folge konvergiert.
Aufgabe c sieht auch schon wieder nach Banachschem Fixpunktsatz aus. f erfüllt Kontraktion, also gibt es einen Fixpunkt.
Hattet ihr diesen Satz überhaupt schon?
Es ist leider schon zu spät um dir konkretere Antworten zu geben.
Werd mich morgen nochmal hinsetzen und eine genauere Antwort schreiben, wenn du dich nochmal meldest.
Vielleicht schaffst du es ja auch selber.
Gruß Max.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:18 Do 29.11.2007 | | Autor: | MaRaQ |
> Hallo.
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> Zur Aufgabe a fällt mir eigentlich nur ein, dass das ganze
> nach einer Abschätzung des Banachschen Fixpunktsatzes
> aussieht. Google da vielleicht mal nach, da wird sich
> eventuell was finden. Wenn du es selbst versuchen willst,
> wende einfach Kontraktion, Dreiecksungleichung und die
> Rekursive Definition deiner Folge an, da wirst du schon auf
> irgendwas kommen, wenn du ein bisschen überlegst.
Leider sagt mir "Banachscher Fixpunktsatz" rein gar nichts - den hatten wir noch nicht. Ich bin mir auch nicht sicher, ob der in der Analysis 1 behandelt wird, wenn ich mir manche Quellen bei Google durchlese - das ist mir doch alles eine Nummer zu hoch.
Kontraktion sagt mir jetzt auch nichts (die Bedeutung ist klar, nur kenne ich keine mathematische Definition, geschweige denn Sätze/Lemmata über Kontraktion)...
> Aufgabe b lässt sich meiner meinung nach mit a lösen. Mit
> dieser Ungleichung, wirst du darauf kommen, dass eine
> beliebige Cauchy-Folge konvergiert.
Ist denn meine Lösung für b) so nicht korrekt?
> Aufgabe c sieht auch schon wieder nach Banachschem
> Fixpunktsatz aus. f erfüllt Kontraktion, also gibt es einen
> Fixpunkt.
>
> Hattet ihr diesen Satz überhaupt schon?
Sieh oben - leider nein.
> Es ist leider schon zu spät um dir konkretere Antworten zu
> geben.
> Werd mich morgen nochmal hinsetzen und eine genauere
> Antwort schreiben, wenn du dich nochmal meldest.
>
> Vielleicht schaffst du es ja auch selber.
>
> Gruß Max.
>
Es wäre super, wenn du mir da noch etwas auf die Sprünge helfen könntest - aber nur, wenn es dir keine Umstände bereitet ;)
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> Aufgabe:
> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine Abbildung, so dass für ein C [mm]\in \IR[/mm]
> mit 0 [mm]\le[/mm] C < 1 gilt:
> |f(x) - f(y)| [mm]\le[/mm] C |x-y| für alle x,y [mm]\in \IR.[/mm] Für a [mm]\in \IR[/mm]
> sei die Folge [mm](z_n)[/mm] definiert durch [mm]z_0[/mm] = a und [mm]z_{n+1}[/mm] =
> [mm]f(z_n).[/mm] Beweisen Sie:
>
> a) [mm]|z_{n+1}[/mm] - [mm]z_n| \le C^n |z_1[/mm] - [mm]z_0|.[/mm]
> b) [mm](z_n)[/mm] ist eine Cauchy-Folge.
> c) Sei z = lim [mm]z_n.[/mm] Dann gilt f(z) = z.
> d) z ist unabhängig von a.
>
> a) Hier dachte ich zunächst an eine Induktion über n:
> Induktionsbeginn n = 0: [mm]|z_{1}[/mm] - [mm]z_0| \le |z_1[/mm] - [mm] z_0| [/mm]
Hallo,
die Idee mit der Induktion ist nicht schlecht.
Der Deutlichkeit halber solltest Du im Ind.anf. lieber schreiben: [mm] |z_{1} [/mm] - [mm] z_0| \le C^0 |z_1- z_0|
[/mm]
Induktionsvor.: es ist [mm] |z_{n+1}] -z_n| \le C^n |z_1 [/mm] - [mm] z_0| [/mm] für alle n
Induktionsschluß: zu zeigen es ist [mm] |z_{n+2}- [z_{n+1}| \le C^{n+1} |z_1 [/mm] - [mm] z_0| [/mm] für alle n
> Aber der Induktionsschritt ist schon wieder eine Nummer zu
> kompliziert für mich, falls ich keinen Kniff übersehen
> haben sollte.
Es ist
[mm] |z_{n+2}[/mm] [/mm] - [mm]z_{n+1}|=|f(z_{n+1})[/mm] - [mm][mm] f(z_{n})| [/mm] nach Def. der Folge
[mm] \le [/mm] ... hier weißt Du etwas aufgrund der Eigenschaft, die die Funktion nach Voraussetzung hat
=... und dann kommt schon bald die Induktionsvoraussetzung.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Do 29.11.2007 | | Autor: | MaRaQ |
Tausend Dank - der Kniff mit [mm] z_{n+1} [/mm] = [mm] f(z_n)... [/mm] das steht zwar direkt in der Aufgabenstellung - aber manchmal hat man echt ein Brett vor dem Kopf. :)
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> b) Zu zeigen: [mm](z_n)[/mm] ist Cauchy-Folge.
> Hier gehe ich schon einmal davon aus, dass a) gilt und
> nehme mir die Definition einer Cauchy-Folge vor:
> [mm](z_n)[/mm] ist Cauchy-Folge [mm]\gdw \forall \epsilon \exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall[/mm]
> m,n [mm]\ge[/mm] N : [mm]|z_m[/mm] - [mm]z_n|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
> Sei N [mm]\in \IN[/mm] genügend groß mit
> n,m [mm]\ge[/mm] N und m im speziellen gewählt als n+1,
Das ist zu speziell.
Das soll ja für alle [mm] m\ge [/mm] n gelten, also für alle m=n+k, [mm] k\in \IN.
[/mm]
Tip [mm] |z_{n+k}-z_n|=||z_{n+k}-z_{n+k-1}+z_{n+k-1}-z_{n+k-2}+z_{n+k-1}-....+z_{n+1}-z_n|\le [/mm] ...
Abschätzen mit Dreiecksungleichung, a) verwenden.
c) ergibt sich direkt aus der Konvergenz und der rekursiven Def, der Folge.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Do 29.11.2007 | | Autor: | MaRaQ |
Ich habe deine Tipps einmal so weit angewandt:
Zu zeigen: [mm] (z_n) [/mm] ist Cauchyfolge.
[mm] (z_n) [/mm] ist Cauchyfolge [mm] \gdw \forall{ \epsilon > 0} \exists [/mm] N [mm] \in \IN, [/mm] s.d. [mm] \forall{m \ge n \ge N} [/mm] : [mm] |z_m [/mm] - [mm] z_n| [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
Sei nun m = n+k für ein k [mm] \n \IN [/mm] und ein geeignetes N [mm] \in \IN.
[/mm]
Zu zeigen: [mm] |z_{n+k} [/mm] - [mm] z_n| [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
[mm] |z_{n+k} [/mm] - [mm] z_n| [/mm]
= [mm] |z_{n+k} [/mm] - [mm] z_{n+k-1} [/mm] + [mm] z_{n+k-1} [/mm] - [mm] z_{n+k-2} [/mm] + [mm] z_{n+k-2} [/mm] - ... + [mm] z_{n+1} [/mm] - [mm] z_n|
[/mm]
[mm] \le |z_{n+k} [/mm] - [mm] z_{n+k-1}| [/mm] + [mm] |z_{n+k-1} [/mm] - [mm] z_{n+k-2}| [/mm] + ... + [mm] |z_{n+2} [/mm] - [mm] z_{n+1}| [/mm] + [mm] |z_{n+1} [/mm] - [mm] z_n|
[/mm]
[mm] \le [/mm] k [mm] \* C^n |z_1 [/mm] - [mm] z_0| [/mm] ??? [mm] \mapsto [/mm] 0 da [mm] C^n \mapsto [/mm] 0 für genügend große n. ???
[mm] \Rightarrow |z_{n+k} [/mm] - [mm] z_n| [/mm] = [mm] |z_m [/mm] - [mm] z_n| [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow (z_n) [/mm] ist Cauchyfolge
Bei der Stelle mit den ??? bin ich mir nicht sicher, ob dieser so in Ordnung ist.
Wärest du so nett, mir da noch einen kurzen Kommentar zu hinterlassen, falls richtig, oder einen Tipp, wie ichs besser machen könnte, sonst?
Tausend Dank schon mal im Voraus :)
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> Ich habe deine Tipps einmal so weit angewandt:
>
> Zu zeigen: [mm](z_n)[/mm] ist Cauchyfolge.
> [mm](z_n)[/mm] ist Cauchyfolge [mm]\gdw \forall{ \epsilon > 0} \exists[/mm]
> N [mm]\in \IN,[/mm] s.d. [mm]\forall{m \ge n \ge N}[/mm] : [mm]|z_m[/mm] - [mm]z_n|[/mm] <
> [mm]\epsilon.[/mm]
> Sei nun m = n+k für ein k [mm]\n \IN[/mm] und ein geeignetes N [mm]\in \IN.[/mm]
Dieses N mußt Du erst noch herausfinden und später hier oben eintragen.
>
> Zu zeigen: [mm]|z_{n+k}[/mm] - [mm]z_n|[/mm] < [mm]\epsilon.[/mm]
>
> [mm]|z_{n+k}[/mm] - [mm]z_n|[/mm]
> = [mm]|z_{n+k}[/mm] - [mm]z_{n+k-1}[/mm] + [mm]z_{n+k-1}[/mm] - [mm]z_{n+k-2}[/mm] + [mm]z_{n+k-2}[/mm]
> - ... + [mm]z_{n+1}[/mm] - [mm]z_n|[/mm]
> [mm]\le |z_{n+k}[/mm] - [mm]z_{n+k-1}|[/mm] + [mm]|z_{n+k-1}[/mm] - [mm]z_{n+k-2}|[/mm] + ...
> + [mm]|z_{n+2}[/mm] - [mm]z_{n+1}|[/mm] + [mm]|z_{n+1}[/mm] - [mm]z_n|[/mm]
> [mm]\le[/mm] k [mm]\* C^n |z_1[/mm] - [mm]z_0|[/mm] ??? [mm]\mapsto[/mm] 0 da [mm]C^n \mapsto[/mm] 0
> für genügend große n. ???
> [mm]\Rightarrow |z_{n+k}[/mm] - [mm]z_n|[/mm] = [mm]|z_m[/mm] - [mm]z_n|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow (z_n)[/mm] ist Cauchyfolge
>
> Bei der Stelle mit den ??? bin ich mir nicht sicher, ob
> dieser so in Ordnung ist.
Der Gedanke an der Stelle ist richtig. Du mußt jetzt berechne, für welches N die Sache stimmt.
Du mußt ja hierfür nur (auf einem Schmierzettel) k [mm]\* C^n |z_1[/mm] - [mm]z_0|[/mm] [mm] <\varepsilon [/mm] nach n auflösen.
(Bedenke, daß lnC negativ ist, beim Dividieren dreht sich also das Vorzeichen um.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Do 29.11.2007 | | Autor: | MaRaQ |
Da ich nicht grade alltäglichen Umgang mit dem natürlichen Logarithmus pflege, hier eine kurze Rückfrage:
Nach der Umformung komme ich auf n > [mm] ln(\bruch{\epsilon}{k|z_1 - z_0|}) [/mm] - stimmt das Ergebnis, bzw. dieser Weg?:
k [mm] C^n |z_1 [/mm] - [mm] z_0| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm]
[mm] \Rightarrow C^n [/mm] < [mm] \bruch{\epsilon}{k|z_1 - z_0|}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] n > [mm] ln(\bruch{\epsilon}{k|z_1 - z_0|})
[/mm]
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> Nach der Umformung komme ich auf n >
> [mm]ln(\bruch{\epsilon}{k|z_1 - z_0|})[/mm] - stimmt das Ergebnis,
> bzw. dieser Weg?:
Auf meinem Zettel stand dasselbe.
Gruß v. Angela
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> c) Sei z = lim [mm]z_n.[/mm] Dann gilt f(z) = z.
> d) z ist unabhängig von a.
> d) Zu zeigen: z ist unabhängig von a.
> hier muss gezeigt werden, dass aus lim [mm]z_n[/mm] = z für a und
> lim [mm]z_n[/mm] = z' für a' folgt z = z', wobei ich den Tipp
> bekommen habe, dass die Umformung z' = z [mm]\gdw[/mm] z' - z = 0
> wohl hilfreich sein soll... aber auch da lichtet sich der
> Nebel bisher nur spärlich.
Hallo,
zeig, daß die durch [mm] y_n:= z_n'-z_n [/mm] definierte Folge eine Nullfolge ist.
Gruß v. Angela
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