Cauchy-Folge ist beschränkt. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Mi 29.11.2006 | | Autor: | gore |
Hi,
kann mir jemand sagen, ob der Beweis so stimmt?
Beh.: Jede Cauchy-Folge ist beschränkt.
Bew.:
für [mm] \epsilon=1 [/mm] gilt: [mm] \exists n_{0} \forall [/mm] n, m [mm] \ge n_{0}: [/mm]
[mm] |a_{n}-a_{m}|<1, [/mm] d.h. [mm] |a_{n}|<|a_{m}|+1
[/mm]
setze: C:=max{ [mm] |a_{1}|, [/mm] ... , [mm] |a_{n_{0}-1}|,|a_{m}|+1 [/mm] } [mm] \Rightarrow \forall [/mm] n [mm] \in \IN: |a_{n}| \le [/mm] C.
Also ist jede Cauchy-Folge beschränkt.
Danke.
Gruß.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Mi 29.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hi,
> kann mir jemand sagen, ob der Beweis so stimmt?
> Beh.: Jede Cauchy-Folge ist beschränkt.
> Bew.:
> für [mm]\epsilon=1[/mm] gilt: [mm]\exists n_{0} \forall[/mm] n, m [mm]\ge n_{0}:[/mm]
> [mm]|a_{n}-a_{m}|<1,[/mm] d.h. [mm]|a_{n}|<|a_{m}|+1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> setze: C:=max{ [mm]|a_{1}|,[/mm] ... , [mm]|a_{n_{0}-1}|,|a_{m}|+1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
genausogut kannst du folgern am<am+1!
> [mm]\Rightarrow \forall[/mm] n [mm]\in \IN: |a_{n}| \le[/mm] C.
> Also ist jede Cauchy-Folge beschränkt.
1.Du hast ja nicht gezeigt, dass am endlich ist.
2.man kann max(...) nur ueber ne endliche menge nehmen.
Ich glaub, hier ist ein widerspruchsbew. einfacher!
Gruss leduart
> Danke.
> Gruß.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Mi 29.11.2006 | | Autor: | gore |
Hi,
danke für deine Antwort.
Die Sache ist, dass dieser Beweis für "Jede konvergente Folge ist beschränkt" genau so im Skript steht, nur anstatt [mm] a_{m} [/mm] natürlich nur a, wobei a der Limes sein soll.
Ich hatte ja auch so meine Bedenken, das a einfach so durch [mm] a_{m} [/mm] auszutauschen, allerdings sollen die Beweise analog funktionieren.
Ist es denn nach Definition von Cauchy-Folgen möglich das [mm] a_{m} [/mm] in meinem Beweis durch [mm] a_{n+1}, [/mm] also das nachfolgende Glied von [mm] a_{n}, [/mm] zu ersetzen?
Da würde das Problem mit der Endlichkeit nicht mehr auftauchen, oder?
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