Cauchy-Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Di 28.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in [mm] \IR [/mm] mit [mm] |x_n [/mm] - [mm] x_n_+_1| \le q^n [/mm]
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] wobei [mm] 0\le [/mm] q [mm] \le [/mm] 1.
Für welche q ist [mm] (x_n) [/mm] eine Cauchy-Folge?
Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass
[mm] \summe_{k=0}^{n} q^k [/mm] = [mm] \bruch{1-q^n+1}{1-q} [/mm] für 0<q<1 gilt. |
Hallo.
Ich würde hier als Ansatz
0< [mm] |x_n [/mm] - [mm] x_n_+_1| \le \summe_{k=0}^{n} q^k [/mm] = [mm] \bruch{1-q^n+1}{1-q} [/mm] <1
verwenden. Wäre das richtig?
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> Sei [mm](x_n)[/mm] eine Folge in [mm]\IR[/mm] mit [mm]|x_n[/mm] - [mm]x_n_+_1| \le q^n[/mm]
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN,[/mm] wobei [mm]0\le[/mm] q [mm]\le[/mm] 1.
> Für welche q ist [mm](x_n)[/mm] eine Cauchy-Folge?
>
> Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} q^k[/mm] = [mm]\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] für 0<q<1
> gilt.
> Hallo.
>
> Ich würde hier als Ansatz
>
> 0< [mm]|x_n[/mm] - [mm]x_n_+_1| \le \summe_{k=0}^{n} q^k[/mm] =
> [mm]\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] <1
>
> verwenden.
Hallo,
ich weiß irgendwie immer nicht, was mit "Ansatz" gemeint ist...
Bei "Ansatz" denke ich an Sauerteig oder Bowle - und an Aufgaben, denen ein bestimmtes Rechenverfahren zugrunde liegt.
Wäre der Beginn der Bemühungen nicht erstmal die Klärung des Begriffes "Cauchy-Folge"?
Welches Ergebnis für q vermutest Du?
Was bezweckst Du mit dem "Ansatz"? Worauf soll das hinauslaufen?
Die Abschätzung "<1" ist mir nicht klar. Die Summe ist sicher nicht grundsätzlich kleiner als 1.
Möglicherweise willst Du aber auch herausfinden, für welche q sie <1 ist. Warum?
LG Angela
> Wäre das richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Di 28.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](x_n)[/mm] eine Folge in [mm]\IR[/mm] mit [mm]|x_n[/mm] - [mm]x_n_+_1| \le q^n[/mm]
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN,[/mm] wobei [mm]0\le[/mm] q [mm]\le[/mm] 1.
> Für welche q ist [mm](x_n)[/mm] eine Cauchy-Folge?
>
> Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} q^k[/mm] = [mm]\bruch{1-q^n+1}{1-q}[/mm] für 0<q<1
> gilt.
> Hallo.
>
> Ich würde hier als Ansatz
>
> 0< [mm]|x_n[/mm] - [mm]x_n_+_1| \le \summe_{k=0}^{n} q^k[/mm] =
> [mm]\bruch{1-q^n+1}{1-q}[/mm] <1
>
> verwenden. Wäre das richtig?
Beide "<" sind i.a. falsch !
Fall 1: q=1. In diesem Fall wird [mm] (x_n) [/mm] i.a. keine Cauchyfolge sein. Finde ein Beispiel !
Fall 2. q<1. Zeige:
für n ,k [mm] \in \IN [/mm] ist
[mm] |x_{n+k}-x_n| \le q^{n+k-1}+...+q^n=q^n(1+q+...+q^{k-1})=q^n*\bruch{1-q^k}{1-q} \le q^n*\bruch{1}{1-q}.
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:36 Di 28.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Kraitos,
Exponenten gehören in geschweifte Klammern, wenn sie mehr als ein einzelnes Zeichen umfassen:
> Sei [mm](x_n)[/mm] eine Folge in [mm]\IR[/mm] mit [mm]|x_n[/mm] - [mm]x_n_+_1| \le q^n[/mm]
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN,[/mm] wobei [mm]0\le[/mm] q [mm]\le[/mm] 1.
> Für welche q ist [mm](x_n)[/mm] eine Cauchy-Folge?
>
> Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} q^k[/mm] = [mm]\bruch{1-q^n+1}{1-q}[/mm] für 0<q<1
> gilt.
Du meinst [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}. [/mm] Klick mal auf die Formel.
> Hallo.
>
> Ich würde hier als Ansatz
>
> 0< [mm]|x_n[/mm] - [mm]x_n_+_1| \le \summe_{k=0}^{n} q^k[/mm] =
> [mm]\bruch{1-q^n+1}{1-q}[/mm] <1
Hier natürlich auch wie oben: der Exponent lautet n+1, hier geschrieben q^{n+1}.
> verwenden. Wäre das richtig?
Links steht der Abstand zweier Folgenglieder der zu untersuchenden Folge, rechts die Summenformel einer Reihe. Das sieht nicht so vielversprechend aus...
Grüße
reverend
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