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Cauchy-Folge: Berechnung von N<n
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 Fr 13.11.2009
Autor: Businesslady

Aufgabe
Sei ε > 0. Berechnen Sie ein [mm] N_{ε} [/mm] so, dass
[mm] |\bruch{n^{2}-1}{n^{2}+1}-1| [/mm] < ε gilt für n > [mm] N_{ε}. [/mm]

Hey zusammen,
irgendwie bin habe ich das Thema mit der Cauchy-Folge noch nicht so ganz verstanden und bitte euch, diese Folge vielleicht an Hand auch anderer Beispiele noch zu verdeutlichen. Wie berechne ich so ein ε und vorallem dann das [mm] N_{ε}... [/mm]
Vielen Dank schon mal im Voraus!

Lieben Gruß

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
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Cauchy-Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:19 Fr 13.11.2009
Autor: leduart

Hallo
Man berechnet nie ein [mm] \epsilon, [/mm] sondern immer das N, das von [mm] \epsilon [/mm] abhängt.
Da dein Ausdruck in den || immer negativ ist, kannst du die || weglassen wenn du das negative nimmst. und dann einfach N ausrechnen.
Gruss leduart

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Cauchy-Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:22 Fr 13.11.2009
Autor: Harrynator

Du musst also diesen Term so umformen, dass zum Schluss ein Ausdruck wie n > ... herauskommt. Auf der anderen Seite steht dann das [mm] \varepsilon, [/mm] z.B. n > [mm] 1/\varepsilon [/mm]

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Cauchy-Folge: Lösung richtig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:18 Sa 14.11.2009
Autor: together

Hallo zusammen,

ich komme auch folgende Lösung:

Nach Umformung:
[mm] \bruch{-2}{n^2+1}<\varepsilon [/mm]

[mm] \bruch{-2}{\varepsilon}
[mm] \bruch{-2}{\varepsilon}-1
[mm] \wurzel {\bruch{-2}{\varepsilon}-1}
Stimmt das so?
Oder muss ich ganz am Anfang auf der linken Seite die Vorzeichen umdrehen, da der Betrag ja immer negativ wird?

Wir sollen das dann in der Form schreiben:

Sie haben also bewiesen, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}...=.... [/mm]

Hier sehe ich auf dem Schlauch.

Bin für Hinweise dankbar.

VG
together

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Cauchy-Folge: zur Umformung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:38 Sa 14.11.2009
Autor: Loddar

Hallo together!


> Nach Umformung:
>  [mm]\bruch{-2}{n^2+1}<\varepsilon[/mm]
>  
> [mm]\bruch{-2}{\varepsilon}
>  
> [mm]\bruch{-2}{\varepsilon}-1
>  
> [mm]\wurzel {\bruch{-2}{\varepsilon}-1}
>  
> Stimmt das so?

[ok] Fast ... siehe unten!


> Oder muss ich ganz am Anfang auf der linken Seite die
> Vorzeichen umdrehen, da der Betrag ja immer negativ wird?

[ok] Genau richtig erkannt. Aber dann ändert sich auch nichts grundsätzliches an Deiner Rechnung.


Gruß
Loddar


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Cauchy-Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:07 Sa 14.11.2009
Autor: together


>  >  
> > Stimmt das so?
>  
> [ok] Fast ... siehe unten!
>  
>
> > Oder muss ich ganz am Anfang auf der linken Seite die
> > Vorzeichen umdrehen, da der Betrag ja immer negativ wird?
>  
> [ok] Genau richtig erkannt. Aber dann ändert sich auch
> nichts grundsätzliches an Deiner Rechnung.
>  
>
> Gruß
>  Loddar
>  

[mm] \wurzel {\bruch{2}{\varepsilon}+1} Also so?

VG
together

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Cauchy-Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Sa 14.11.2009
Autor: steppenhahn

Hallo together,

> [mm]\wurzel {\bruch{2}{\varepsilon}+1}
>  Also so?

Nein, so:

[mm]\wurzel {\bruch{2}{\varepsilon}-1}
Kontrollier' deine Rechnung, du wirst den Fehler sicher finden ;-)

Grüße,
Stefan

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Cauchy-Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:01 So 15.11.2009
Autor: tobster

Habe die gleiche Rechnung, komme aber nicht auf die Lösung sondern auch auf:
[mm] \wurzel {\bruch{2}{\varepsilon}+1}
Kannst Du mir meinen Fehler aufzeigen. Warum setze ich den Betrag falsch, bzw. wie habe ich den zu setzen?


Bezug
                                                                
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Cauchy-Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:19 So 15.11.2009
Autor: steppenhahn

Hallo tobster,

[mm] $\left|\frac{n^{2}-1}{n^{2}+1} - 1\right| <\epsilon$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \left|\frac{n^{2}-1}{n^{2}+1} - \frac{n^{2}+1}{n^{2}+1}\right| <\epsilon$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \left|\frac{-2}{n^{2}+1}\right| <\epsilon$ [/mm]

Nenner immer positiv, Zähler immer negativ, also der gesamte Bruch im Betrag immer negativ; den Betrag kann man also auflösen, indem man stattdessen mal (-1) rechnet.

[mm] $\Rightarrow (-1)*\frac{-2}{n^{2}+1} <\epsilon$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \frac{2}{n^{2}+1} <\epsilon$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \frac{2}{\epsilon}
[mm] $\Rightarrow \frac{2}{\epsilon}\red{-1}
[mm] $\Rightarrow \sqrt{\frac{2}{\epsilon}-1} [/mm] <n$

Grüße,
Stefan

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Cauchy-Folge: Super, danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:35 So 15.11.2009
Autor: tobster

Oh Gott wie blöd.
Ich Trottel habe immer beides -1 gerechnet, was natürlich nichts bringt.

Danke!

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Cauchy-Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:54 Sa 14.11.2009
Autor: steppenhahn

Hallo!

> Sie haben also bewiesen, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}...=....[/mm]

Naja - indem du gezeigt hast, dass für jedes [mm] \epsilon [/mm] > 0 (eigentlich aber auch [mm] \epsilon [/mm] < 1/2, weil sonst deine Formel kein reelles n erzeugt), ein $N = [mm] \sqrt{\frac{2}{\epsilon}-1}$ [/mm] existiert sodass für alle $n>N$ gilt:

[mm] $\left|\blue{\frac{n^{2}-1}{n^{2}+1}}-\red{1}\right| [/mm] < [mm] \epsilon$, [/mm]

hast du gezeigt, dass die Folge [mm] $\blue{\left(\frac{n^{2}-1}{n^{2}+1}\right)_{n\in\IN}}$ [/mm] gegen den Limes [mm] \red{1} [/mm] konvergiert (vgl. Farben), also hast du gezeigt, dass

[mm] $\lim_{n\to\infty}\blue{\frac{n^{2}-1}{n^{2}+1}} [/mm] = [mm] \red{1}$. [/mm]

Grüße,
Stefan

Bezug
                                        
Bezug
Cauchy-Folge: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:17 Sa 14.11.2009
Autor: together

Vielen Dank für eure Hinweise!

VG
together

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