Cauchy-Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:13 Do 11.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Sei [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine Folge reeller Zahlen mit [mm] |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] \bruch{1}{n}. [/mm] Beweisen oder widerlegen Sie mittels eines Gegenbeispiels, dass [mm] (a_{n})_{n} [/mm] eine Cauchy-Folge ist. |
Hallo,
hab einige Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe, theoretisch heißt das doch [mm] |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] \bruch{1}{n} \gdw \bruch{-1}{n} [/mm] < [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n}. [/mm] Aber für n groß genug streben doch [mm] \bruch{-1}{n} [/mm] und [mm] \bruch{1}{n} [/mm] gegen 0. Also müsste doch [mm] (a_{n})_{n} [/mm] konvergent sein und somit Cauchy-Folge? Wäre um jede Hilfe bzw. Idee eurerseits dankbar.
Viele Grüße
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> Sei [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] eine Folge reeller Zahlen mit
> [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm] < [mm]\bruch{1}{n}.[/mm] Beweisen oder widerlegen
> Sie mittels eines Gegenbeispiels, dass [mm](a_{n})_{n}[/mm] eine
> Cauchy-Folge ist.
> Hallo,
> hab einige Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe, theoretisch
Hallo,
wieso "theoretisch"?
> heißt das doch [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm] < [mm]\bruch{1}{n} \gdw \bruch{-1}{n}[/mm]
> < [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}[/mm] < [mm]\bruch{1}{n}.[/mm]
Ja. Und zwar für alle n.
Zwei aufeinanderfolgende Folgenglieder [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] liegen nie weiter auseinander als [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
> Aber für n groß genug
> streben doch [mm]\bruch{-1}{n}[/mm] und [mm]\bruch{1}{n}[/mm] gegen 0.
Ja.
> Also
> müsste doch [mm](a_{n})_{n}[/mm] konvergent sein
Warum?
Oder anders gesagt: den Verdacht finde auch ich äußerst naheliegend.
Auf solch eine Mutmaßung mußte nun ein Beweisversuch folgen.
Hast Du's versucht?
> und somit
> Cauchy-Folge?
Wie gesagt: hast Du einen Beweisversuch unternommen?
Ein Detail, welches hier zu verwenden wäre sicher [mm] |a_{n+k}-a_n| =|a_{n+k}-a_{n+k-1}+a_{n+k-1}-a_{n+k-2}+a_{n+k-2}-...-a_{n+1}+a_{n-1}-a_n|\le [/mm] ...
> Wäre um jede Hilfe bzw. Idee eurerseits
> dankbar.
Die harmonische Reihe [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}, [/mm] insbesondere ihr Konvergenzverhalten, ist bekannt?
Schau dann mal diese Folge an:
[mm] a_1=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] a_2=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] a_3=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4},
[/mm]
also die Reihe [mm] (a_n) [/mm] mit
[mm] a_n:= \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k+1}.
[/mm]
Konvergiert sie?
Ist's eine Cauchy-Folge?
Hat sie die Eigenschaft, die in Deiner Aufgabe gefordert ist?
Gruß v. Angela
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Es reicht doch sogar schon die "Standardfolge" als Gegenbeispiel:
[mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] mit [mm] a_n=\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i}
[/mm]
Die Bedingung ist erfüllt, denn:
[mm]a_{n+1} - a_n = \bruch{1}{n+1} < \bruch{1}{n} \ \forall n \in \IN[/mm]
und sie ist bekanntermaßen nicht mal konvergent.
Schön ist aber auch der Ansatz mit dem [mm] \varepsilon [/mm]  . Da muss man zwar am Ende ein bisschen "basteln", aber man sieht sehr schön, dass diese Bedingung alleine nicht reicht.
Gruß,
weightgainer
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> Es reicht doch sogar schon die "Standardfolge" als
> Gegenbeispiel:
Hallo,
in der Tat...
Da hatte ich mir wohl zwischenzeitlich die Aufgabenstellung etwas anders gedreht, nämlich zu [mm] |a_n-a_{n-1}|<\bruch{1}{n}.
[/mm]
Trotzdem ist und bleibt "meine" Folge natürlich superklassetoll!
Gruß v. Angela
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Deine Folge ist natürlich viel viel schöner als diese normale, einfache, völlig billige superhässliche Folge. Das steht ja außerfrage. Und sie ist noch für andere Aufgabenstellungen verwendbar. 
Aber auch diese unschönen Sachen haben in der Mathematik doch ein Plätzchen gefunden, wo sie ihrer unwürdigen Existenz nachgehen können.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:08 Do 11.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Vielen Dank für deine Hilfe,
um ehrlich zu sein hab ich keinen Beweisversuch unternommen, weil ich mir bei der Fragestellung schon dachte, dass es ein Gegenbeispiel gibt . Klar weiß ich, dass die harmonische Reihe divergiert, aber eigentlich reicht doch schon die Folge [mm] a_{n}= \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i} [/mm] aus ohne im Nenner noch ein +1 hinzuzufügen, da der Abstand zum nächsten Folgenglied ja immer [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] ist, was logischer kleiner als [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist.
Viele Grüße
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Ich sehe keine Frage mehr - falschen Knopf gedrückt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:38 Do 11.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Ja falscher Knopf, sorry. Hab nich gesehen, dass du schon gepostet hast, dass die harmonische Reihe an sich schon ausreicht
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