Cauchy-Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 Di 02.12.2008 | | Autor: | Mary1986 |
| Aufgabe | Sei 0<q<1 und sei[mm] (a_n)_(n \in \IN) [/mm] eine Folge mit [mm]|a_(n+1) - a_n| \le q^n [/mm] für alle [mm]n \in \IN[/mm]. Zeigen Sie:
a) Für alle [mm]n,l \in\IN [/mm] gilt [mm]|a_(n+l) - a_n| \le q^n \cdot (\sum_{k=0}^{l-1} q^k) [/mm]
b)[mm] (a_n)_(n \in \IN) [/mm] ist eine Cauchy-Folge
Folgern Sie hieraus : Ist [mm]|b_n| \le q^n[/mm] für alle [mm]n \in\IN[/mm] so existiert der Grenzwert [mm]\sum_{k=1}^{\infty} b_k := \lim_{n \to \infty}\sum_{n=1}^{n} b_k[/mm] |
Hallo Ihr!
Also für a hab ich mir überlegt, das man zeigen muss dass das [mm]|a_(n+l) - a_n| \le q^n \cdot (\sum_{k=0}^{l-1} q^k) [/mm] das gleiche sein muss wie das [mm]|a_(n+1) - a_n| \le q^n [/mm]
Dafür hab ich versucht das obere auseinander zu dröseln und bekomm:
[mm]|a_(n+1)+ a_(n+l-1) - a_n| \le q^n q^(l-1) (1+ \sum_{k=0}^{l-1} q^k) [/mm]
Sorry, irgendwie bekomm ich es nicht hin, dass er mehrere Sachen hochstellt (bzw. tief), ich hoffe ihr könnt es trotzdem lesen!
dann hab ich mir gedacht dass [mm]a_(n+1) \le q^n [/mm] ist und [mm]a_(n+l-1) \le q^(l-1) [/mm] und somit dann ja [mm]a_n \le 1+\sum_{k=0}^{l-1} q^k = 1 [/mm] sei muss!
Ist das so der richtige Weg, bzw. bin ich jetzt schon fertig?
Zu b) weiß ich das gelten muss:Für alle[mm]\epsilon > 0 [/mm] existiert ein [mm]n_o [/mm] Für alle n,m > [mm]n_0[/mm] gilt [mm]|a_n-a_m|< \epsilon[/mm]
Und ist die Folge konvergent so ist es eine Cauchyfolge!
Naja aber wie ich das nun beweisen soll ist mir noch schleierhaft. Oder reicht es wenn ich einfach schreibe das q mein epsilon ist?
MfG
Mary
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Di 02.12.2008 | | Autor: | pelzig |
a) Probiers mal mit Induktion über l. der Induktionsanfang ist deine Voraussetzung und im Induktionsschritt benutze [mm] $|a_{n+(l+1)}-a_n|=|a_{n+(l+1)}-a_{n+l}+a_{n+l}-a_n|$ [/mm] und benutze die Dreiecksungleichung, dann die Induktionsvoraussetzung.
b) Es folgt im Grunde schon aus a). Du kannst ja o.B.d.A. $m>n$ annehmen, d.h. $m=n+l$ für ein [mm] $l\in\IN$. [/mm] Dann folgt [mm] $|a_m-a_n|=|a_{n+l}-a_n|\le q^n\sum_{k=0}^{l-1}q^k$, [/mm] aber diese Summe [mm] $\sum_{k=0}^{l-1}q^k$ [/mm] ist beschränkt (geometrische Reihe)...
Gruß, Robert
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