Cartanmatrix < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:50 Do 15.05.2008 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Sei [mm] sp_{2n} [/mm] die Liealgebra die definiert ist durch:
Sei [mm] V=\IC^{2n} [/mm] und [mm] f:VxV\to \IC [/mm] die Bilinearform, die gegeben wird durch die Matrix [mm] \pmat{ 0 & I \\ -I & 0} [/mm] mit I der nxn-Einheitsmatrix.
Sei o(V,f)= [mm] [x\in [/mm] End(V): f(xu,v)+f(u,xv)=0 [mm] \forall u,v\in [/mm] V] eine Unterliealgebra von End(V)
Bestimme die Cartanmatrix der folgenden Liealgebren:
(i) [mm] sp_4
[/mm]
(ii) [mm] sp_6
[/mm]
(iii) [mm] sp_{2n} [/mm] |
Ich habe leider noch nicht verstanden wie man diese Cartanmatrix aufstellt.
Also ich habe da gefunden, dass die Cartanmatrix C zu einer Liealgebra L so definiert ist:
[mm] C:=(c_{i,j})_{1\le i,j\le n} [/mm] , [mm] c_{i,j}=\alpha_{i}(h_{j})
[/mm]
Außerdem dass die Diagonaleinträge alle 2 sind und dass alle anderen Einträge maximal 0 sind. Und wenn [mm] c_{i,j}=0 [/mm] dann auch [mm] c_{j,i}=0
[/mm]
Leider weiß ich nicht so genau wo das [mm] \alpha [/mm] und das h herkommen, ist [mm] \alpha [/mm] aus dem Dualraum und h aus V?
Dann habe ich noch was gefunden:
(ad [mm] e_i)^{1-a_{i,j}}(e_j)=0
[/mm]
(ad [mm] f_i)^{1-a_{i,j}}(f_j)=0
[/mm]
Wobei die [mm] e_i [/mm] und die [mm] f_i [/mm] aus der Realisierung stammen und bezüglich der Lieklammer gilt:
[mm] [e_i,f_i]=h_i
[/mm]
[mm] [h_i,e_i]=2e_i
[/mm]
[mm] [h_i,f_i]=-2f_i
[/mm]
Es wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 23.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
