Cardano - Diskriminante < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Mo 15.09.2008 | | Autor: | kittycat |
| Aufgabe | | Rechnen Sie die Gleichung [mm] y^{3} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] - 2y - 1 = 0 mit y = x - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] um in eine Gleichung [mm] x^{3} [/mm] + px + q = 0. Zeigen Sie , dass deren Diskriminante negativ ist. Daraus folgt: Alle drei Nullstellen sind verschieden und reell. Zeigen Sie, dass sie nicht rational sind. Rechnen Sie die Werte mit den Cardanoschen Formeln soweit aus, wie es geht. |
Liebe Mathefreunde,
ich habe hier folgende Gleichung dritten Grades erhalten:
[mm] x^{3} [/mm] - [mm] \bruch{7}{3} [/mm] x - [mm] \bruch{7}{27} [/mm] = 0.
Die Diskriminante ist demzufolgen folgender Wert: (- [mm] \bruch{49}{108})
[/mm]
Da die Diskriminante kleiner als 0, also negativ, ist, sind alle drei Nullstellen reell und verschieden.
Wie zeige ich nun aber, dass die Nullstellen auch rational sind???
Ich muss anscheinend erst die Cardanoschen Formeln anwenden, oder?
Vielen Dank für eure Hilfe schon im Voraus!
Lg Kittycat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo kittycat!
Du sollst ja zeigen, dass Deine 3 verschiedenen reellen Lösung nicht rational sind.
Und dazu musst Du wirklich erst die Formeln anwenden ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Di 16.09.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
sorry, dass ich kurz Zwischenfrage - aber wie könnte man denn z.B. einsehen, dass die Zahl
[mm] \wurzel[3]{9-4 \wurzel{5}} [/mm] + [mm] \wurzel[3]{9+4 \wurzel{5}} [/mm] rational (nämlich gleich 3) ist?
Gibt es da eine Möglichkeit ohne Computerprogramm...??
Viele Grüße,
Riley
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