Cantorsche Tupelfunktion < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Fr 16.10.2009 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] $\pi_2^{(3)}(453)$ [/mm] |
Hallo,
ich habe noch nicht so ganz verstanden, wie ich die Umkehrfunktion der Cantorschen Tupelfunktion von [mm] $\pi^{(3)}$ [/mm] berechnen kann. Bei [mm] $\pi^{(2)}$ [/mm] ist das ja noch möglich, da man ja quasi ein 2-dimensionales Koordinatensystem hat, in dem man dann ein [mm] $f(v)\le [/mm] z$ finden kann, welches maximal ist und somit auf x und y kommt und dann auf [mm] $\pi(x,y)=z$.
[/mm]
Wie mache ich das aber für [mm] $\pi^{(3)}$?
[/mm]
Vielen Dank für die Hilfe.
Gruß, Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Fr 16.10.2009 | | Autor: | fred97 |
![[]](/images/popup.gif) Hier wird alles sehr schön erklärt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Fr 16.10.2009 | | Autor: | stefan00 |
> Hier
> wird alles sehr schön erklärt.
ja, das ist eine schöne Erklärung für $k=2$, aber hier muss ja die Umkehrfunktion für $k=3$ gezeigt werden, d.h. ich muss offensichtlich die Berechnung zweimal hintereinander ausführen oder verschachtelt, aber wie? Ich komme auf keinen Ansatz.
Gruß, Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Fr 16.10.2009 | | Autor: | abakus |
> > Hier
> > wird alles sehr schön erklärt.
> ja, das ist eine schöne Erklärung für [mm]k=2[/mm], aber hier
> muss ja die Umkehrfunktion für [mm]k=3[/mm] gezeigt werden, d.h.
> ich muss offensichtlich die Berechnung zweimal
> hintereinander ausführen oder verschachtelt, aber wie? Ich
> komme auf keinen Ansatz.
>
> Gruß, Stefan.
Hallo,
Denke dir ein x-y-z-Koordinatensystem im ersten Oktanten (also alle drei Koordinaten nichtnegativ).
jetzt lässt du diesen Raum von unendlich vielen parallelen Ebenen schneiden.
[mm] E_1 [/mm] geht dabei durch die Punkte (1;0;0), (0;1;0) und (0;0;1).
[mm] E_2 [/mm] geht dabei durch die Punkte (2;0;0), (0;2;0) und (0;0;2).
[mm] E_3 [/mm] geht dabei durch die Punkte (3;0;0), (0;3;0) und (0;0;3) usw.
(kann man auch beschreiben durch x+y+z=1 ; x+y+z=2 usw.)
Jetzt kannst du - beginnend mit (0,0,0) - alle Punkte von Ebene zu Ebene abzählen.
Auf den Koordinatenursprung folgen 3 Punkte in Ebene 1, dann 6 Punkte in [mm] E_2, [/mm] dann 10 Punkte in [mm] E_3 [/mm] usw.
Die Anzahlen der Punkte pro Ebene sind übrigens gerade die "Dreieckszahlen".
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Fr 16.10.2009 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo,
Abakus, ich glaube du hast die Tupel wie (1,2,3) ausgelassen, in drei Dimensionen muss man zuerst die [mm] \pi [/mm] -Funktion auf das zweidimensionale Tupel hintere Tupel anwenden, sodass zuerst [mm] \pi((2,3)) [/mm] berechnet wird. Dann fasst man das dreidimensionale Tupel wiederum als 2-Tupel auf und berechnet [mm] \pi((1,\pi(2,3))) [/mm] (Das sind unschöne explizite Formeln). Die Umkehrfunktion für ein (n+1)-Tupel ist somit die n-fache Anwendung der Umkehrfunktion für ein 2-Tupel.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:15 Fr 16.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> Abakus, ich glaube du hast die Tupel wie (1,2,3)
> ausgelassen,
Habe ich nicht. Es erscheint in der Ebene [mm] E_6.
[/mm]
Wenn man die Punkte "von oben nach unten" und in jeder Höhe "von links nach rechts" durchzählt,
kommen in dieser Ebene der Reihe nach (die Klammern und Kommas lasse ich mal weg)
006
105, 015
204, 114, 024
303, 213, [mm] \red{123}, [/mm] 033
Gruß Abakus
> in drei Dimensionen muss man zuerst die [mm]\pi[/mm]
> -Funktion auf das zweidimensionale Tupel hintere Tupel
> anwenden, sodass zuerst [mm]\pi((2,3))[/mm] berechnet wird. Dann
> fasst man das dreidimensionale Tupel wiederum als 2-Tupel
> auf und berechnet [mm]\pi((1,\pi(2,3)))[/mm] (Das sind unschöne
> explizite Formeln). Die Umkehrfunktion für ein (n+1)-Tupel
> ist somit die n-fache Anwendung der Unkehrfunktion für ein
> 2-Tupel.
>
> lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Fr 16.10.2009 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo,
ich habe gesehen: konventionsmäßig wird ein Tupel von vorne nach hinten kodiert. Also heißt es: [mm] \pi^3(1,2,3)=\pi(\pi(1,2),3)
[/mm]
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Sa 17.10.2009 | | Autor: | stefan00 |
Hallo abakus,
> Jetzt kannst du - beginnend mit (0,0,0) - alle Punkte von
> Ebene zu Ebene abzählen.
> Auf den Koordinatenursprung folgen 3 Punkte in Ebene 1,
> dann 6 Punkte in [mm]E_2,[/mm] dann 10 Punkte in [mm]E_3[/mm] usw.
das ist eine interessante Vorstellung mit dem dreidimensionalen Raum. Aber wie zähle ich das nun genau in Tupel-Schreibweise und wie mache ich das vor allem für höhere "Dimensionen" also $k>3$, da habe ich ja keine geometrische Vorstellung. Gibt es eine Art Entwicklungsformel für die Umkehrfunktion, so ähnlich wie im 2-Tupel? Ich komme leider noch nicht dahinter, wie ich nun mittels eines Bilds oder einer Formel auf [mm] $\pi_2^{(3)}(453)$ [/mm] komme oder zumindest mal auf die drei Tupel [mm] $\pi^{(3)}(453)=(x,y,z)$.
[/mm]
Vielen Dank nochmals für die Hilfe.
Gruß, Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:00 So 18.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus,
> > Jetzt kannst du - beginnend mit (0,0,0) - alle Punkte
> von
> > Ebene zu Ebene abzählen.
> > Auf den Koordinatenursprung folgen 3 Punkte in Ebene 1,
> > dann 6 Punkte in [mm]E_2,[/mm] dann 10 Punkte in [mm]E_3[/mm] usw.
> das ist eine interessante Vorstellung mit dem
> dreidimensionalen Raum. Aber wie zähle ich das nun genau
> in Tupel-Schreibweise und wie mache ich das vor allem für
> höhere "Dimensionen" also [mm]k>3[/mm], da habe ich ja keine
> geometrische Vorstellung. Gibt es eine Art
> Entwicklungsformel für die Umkehrfunktion, so ähnlich wie
> im 2-Tupel? Ich komme leider noch nicht dahinter, wie ich
> nun mittels eines Bilds oder einer Formel auf
> [mm]\pi_2^{(3)}(453)[/mm] komme oder zumindest mal auf die drei
> Tupel [mm]\pi^{(3)}(453)=(x,y,z)[/mm].
Hallo,
meine Ebenen lassen sich durch die Gleichungen x+y+z=0 (enthält nur (0,0,0)), x+y+z=1,
x+y+z=2 usw. beschreiben. Das kann man sich in höheren Dimensionen zwar nicht nehr räumlich vorstellen, aber trotzdem mit den entsprechenden Formeln wie [mm] x_1+x_2+x_3+x_4=1, x_1+x_2+x_3+x_4=2 [/mm] usw. weiterarbeiten.
Zu meinem Beispiel mit n=3:
Für die Summe aller Dreieckszahlen [mm] 1+3+6+10+15+...+D_n [/mm] gibt es eine Summenformel. Wenn sich dein gesuchtes Element also in einer bestimmten Ebene befinden, kannst du die Anzahl aller Gitterpunkte in den Vorgängerebenen auf einen Schlag bestimmen und musst nur noch in der aktuellen Ebene abzählen.
Gruß Abakus
>
> Vielen Dank nochmals für die Hilfe.
>
> Gruß, Stefan.
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