Cantor-Menge < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Die Cantor-Menge ist
a) kompakt
b) eine Nullmenge
c) überabzählbar |
Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit dieser Aufgabe.
Die Cantor-Menge ist so definiert, dass [mm] $U_1=(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3})$ [/mm] und [mm] $U_{n+1}=\{\tfrac{x}{3},\tfrac{x+2}{3}\colon x\in U_n\}$ [/mm] für [mm] $n\geq [/mm] 1$
Dann wird im n-ten Schritt die Menge [mm] $U_n$ [/mm] entfernt und die verbleibende Cantor-Menge ist
[mm] $C:=[0,1]\setminus\bigcup_{n=1}^{\infty} U_n$
[/mm]
erst einmal nur zu c)
Die Teile a) und b) sollten recht einfach sein.
Als Hinweis ist gegeben, dass man die Menge aller Folgen von Nullen und Einsen [mm] $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ [/mm] betrachten soll.
Man soll zeigen, dass diese Menge überabzählbar ist und injektiv durch die Abbildung
[mm] $\{0,1\}^{\mathbb{N}}\to [/mm] [0,1]$
[mm] $A\mapsto \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2x_n}{3^n}$
[/mm]
auf die Cantor-Menge abgebildet wird.
Zu zeigen, dass [mm] ${0,1}^{\mathbb{N}}$ [/mm] überabzählbar ist, sollte nicht so schwer sein.
Es sollte analog zum Beweis funktionieren, dass die reellen Zahlen überabzählbar sind.
Denn angenommen man könnte alle 0-1-Folgen aufschreiben, die Menge also abzählbar ist, wobei die zweite Folge sich an erster Stelle von der ersten Folge unterscheidet, die dritte Folge sich an zweiter Stelle von der zweiten Folge unterscheidet usw., so finde ich auf der Diagonalen eine Folge, welche ich noch nicht in meiner Liste habe.
Denn sie stimmt mit der ersten Folge nicht überein, da sie sich an erster Stelle von ihr unterscheidet, und auch mit der n-ten Folge nicht überein, da sie sich ebenso an der n-ten Stelle unterscheidet.
Erinnere ich mich richtig, so hatte man so die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen gezeigt, wobei man da noch aufpassen musste, dass man keine 9er-Periode hat.
Vielen Dank im voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 29.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
