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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:01 Mi 01.10.2014 | | Autor: | nbt |
| Aufgabe | Sei [mm] $S=\{t_1,\cdots,t_N\}\subseteq[0,1]$ [/mm] eine endliche Menge von Zeitpunkten, wobei [mm] $0=:t_0
Für zwei Zeitpunkte [mm] $0\leq [/mm] s<t<1$ und eine beliebige Funktion [mm] $x:[0,1]\to\mathbb{R}$ [/mm] gilt
[mm] P(B(t)-B(s)\in d(x(t)-x(s)))=\frac{1}{\sqrt{2\pi(t-s)}}\exp{\left(-\frac{(x(t)-x(s))^2}{2(t-s)}\right)}d(x(t)-x(s))\quad [/mm] (*)
Seien [mm] $(B(t_j):\ j=1,\cdots,N)$ [/mm] und [mm] $(B(t_j)+F(t_j):\ j=1,\cdots,N)$ [/mm] die endlich dimensionalen Versionen von $B$ und $B+F$ auf $S$.
Die zugehörigen eingeschränkten Verteilung [mm] $\mathcal{L}_0|_S$ [/mm] und [mm] $\mathcal{L}_F|_S$ [/mm] sind absolut-stetig zum Lebesgue Produktmaß [mm] $\lambda^{\otimes N}$. [/mm]
Berechne die Dichte
[mm] \frac{d\mathcal{L}_F}{d\mathcal{L}_0}|_S(x)=\frac{P(B(t_j)+F(t_j)\in dx(t_j)\ \forall j=1,\cdots,N)}{P(B(t_j)\in dx(t_j)\ \forall j=1,\cdots,N)} [/mm] |
Hi,
der Ausschnitt stammt von der Vorlesung von J.E.Björnberg an der Uppsala Universität zum Thema "Cameron Martin Theorem" (Link unten).
Meine erste Frage: Was genau bedeutet die Schreibweise [mm] $P(B(t)-B(s)\in [/mm] d(x(t)-x(s)))$? Ich kenn [mm] $P(X\in d\mu)$ [/mm] aus meiner W'Theorie Vorlesung nur so, dass das [mm] $d\mu$ [/mm] anzeigen soll, bezüglich welchem Maß die Dichte von der Verteilung [mm] $X[P]=\mathcal{L}_P(X)$ [/mm] angegeben wird. Aber $x(t)-x(s)$ ist kein Maß....
Der Autor berechnet die Dichte
[mm] $\frac{d\mathcal{L}_F}{d\mathcal{L}_0}|_S(x)$
[/mm]
indem er (*) und die Unabhängigkeit der Zuwächse der B.B. nutzt:
[mm] $\frac{d\mathcal{L}_F}{d\mathcal{L}_0}|_S(x)=\exp{(-\sum_{j=1}^N\frac{(x(t_j)-F(t_j)-x(t_{j-1})+F(t_{j-1}))^2}{2(t_j-t_{j-1})}+\sum_{j=1}^N\frac{(x(t_j)-x(t_{j-1}))^2}{2(t_j-t_{j-1})})}$
[/mm]
Wir kommt er darauf? Ich hab schon in anderen B.B. Vorlesungen und Büchern nachgeschaut, aber ich finde keine Erklärung dazu.
Link zur Vorlesung:
http://www2.math.uu.se/~takis/L/BMseminar/BMnotes04_cameronmartin.pdf
Vielen Dank für die Hilfe,
nbt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Mi 01.10.2014 | | Autor: | nbt |
Hi,
also wenn man schreiben kann
[mm] $P(B(t_j)+F(t_j)\in dx(t_j)\ \forall j=1,\cdots,N)=\prod_{j=1}^NP(B(t_j)+F(t_j)-B(t_{j-1})-F(t_{j-1})\in d(x(t_j)-x(t_{j-1})))$ [/mm] (**)
dann ist die Berechnung der Dichte klar:
[mm] $\frac{d\mathcal{L}_F}{d\mathcal{L}_0}|_S(x)=\prod_{j=1}^N\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi(t_j-t_{j-1})}}\exp\left(-\frac{((x(t_j)-x(t_{j-1}))-(F(t_j)-F(t_{j-1}))^2}{2(t_j-t_{j-1})}\right)d(x(t_j)-x(t_{j-1}))}{\frac{1}{\sqrt{2\pi(t_j-t_{j-1})}}\exp\left(-\frac{(x(t_j)-x_(t_{j-1}))^2}{2(t_j-t_{j-1})}\right)d(x(t_j)-x(t_{j-1}))}\right)$
[/mm]
[mm] $=\prod_{j=1}^N\left(\frac{\exp\left(-\frac{((x(t_j)-x(t_{j-1}))-(F(t_j)-F(t_{j-1}))^2}{2(t_j-t_{j-1})}\right)}{\exp\left(-\frac{(x(t_j)-x_(t_{j-1}))^2}{2(t_j-t_{j-1})}\right)}\right)$
[/mm]
[mm] $=\prod_{j=1}^N\exp\left(-\frac{((x(t_j)-x(t_{j-1}))-(F(t_j)-F(t_{j-1}))^2+(x(t_j)-x_(t_{j-1}))^2}{2(t_j-t_{j-1})}\right)
[/mm]
Ich frag mich nur, warum man (**) machen darf.
Danke für die Hilfe,
nbt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 08.10.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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