C[s,b] kein Banachraum? < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Es geht um den Raum
[mm] C[a,b]=\{f: [a,b]\rightarrow \IR | f stetig\} [/mm] mit der Supremumsnorm [mm] ||f||_{\infty}=\sup|f(x)|
[/mm]
Ich weiß eigentlich, dass dieser Raum ein Banachraum ist, aber folgendes Beispiel irritiert mich:
Sei [a,b]=[0,1] und [mm] (f_n) [/mm] eine Funktionenfolge in C[a,b] gegeben durch:
[mm] f_n(x)=\begin{cases} n-n^2x & \mbox{fuer } x\in [0,\frac{1}{n}] \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
(das zwischen 0 und [mm] \frac{1}{n} [/mm] eine Gerade mit y-Achsenabschnitt n und danach konstant 0)
Diese Funktionenfolge ist für jedes n stetig und beschränkt. Aber die Grenzfunktion ist es nicht, denn die Grenzfunktion wäre:
[mm] f(x)=\begin{cases} \infty& \mbox{fuer } x=0 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Wenn dieses Beispiel doof ist, kann ich mir als Funktionenfolge auch nehmen:
[mm] f_n(x)=\begin{cases} 1-nx & \mbox{fuer } x\in [0,\frac{1}{n}] \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Das ist im Grunde das selbe, nur dass der y-Achsenabschnitt nicht nach oben abhaut, also meine Grenzfunktion beschränkt wäre. Aber auch hier wäre meine Grenzfunktion nicht stetig.
Das würde also bedeuten, dass mein Raum kein Banachraum wäre. Aber das stimmt ja irgendwie nicht.
Kann mir jemand sagen, wo der Fehler steckt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Fr 21.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es geht um den Raum
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> [mm]C[a,b]=\{f: [a,b]\rightarrow \IR | f stetig\}[/mm] mit der
> Supremumsnorm [mm]||f||_{\infty}=\sup|f(x)|[/mm]
>
> Ich weiß eigentlich, dass dieser Raum ein Banachraum ist,
> aber folgendes Beispiel irritiert mich:
>
> Sei [a,b]=[0,1] und [mm](f_n)[/mm] eine Funktionenfolge in C[a,b]
> gegeben durch:
>
> [mm]f_n(x)=\begin{cases} n-n^2x & \mbox{fuer } x\in [0,\frac{1}{n}] \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> (das zwischen 0 und [mm]\frac{1}{n}[/mm] eine Gerade mit
> y-Achsenabschnitt n und danach konstant 0)
> Diese Funktionenfolge ist für jedes n stetig und
> beschränkt. Aber die Grenzfunktion ist es nicht, denn die
> Grenzfunktion wäre:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \infty& \mbox{fuer } x=0 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
>
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>
> Wenn dieses Beispiel doof ist, kann ich mir als
> Funktionenfolge auch nehmen:
>
> [mm]f_n(x)=\begin{cases} 1-nx & \mbox{fuer } x\in [0,\frac{1}{n}] \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> Das ist im Grunde das selbe, nur dass der y-Achsenabschnitt
> nicht nach oben abhaut, also meine Grenzfunktion
> beschränkt wäre. Aber auch hier wäre meine Grenzfunktion
> nicht stetig.
>
>
> Das würde also bedeuten, dass mein Raum kein Banachraum
> wäre. Aber das stimmt ja irgendwie nicht.
> Kann mir jemand sagen, wo der Fehler steckt?
Beides sind keine Cauchy-Folgen bzgl. der Supremumsnorm.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Fr 21.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Konvergenz bezügl. der Supremumsnorm ist gleichbedeutend mit gleichmäßiger Konvergenz.
In Deinen Beispielen konvergieren die jeweiligen Funktionenfolgen nicht glm. !!
FRED
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