CHi-QUadrat verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Sa 23.04.2005 | | Autor: | lumpi |
Wie zeige ich das die Varianz einer CHi-Quadrat verteilten ZZVA mit n FReiheitsgeraden 2n ist? Das muß irgendwas mit der Wölbung ( also dem Exzess) einer normalverteilung zu tun haben!Das vermute ich zumindest!
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Hallo lumpi!
> Wie zeige ich das die Varianz einer CHi-Quadrat verteilten
> ZZVA mit n FReiheitsgeraden 2n ist? Das muß irgendwas mit
> der Wölbung ( also dem Exzess) einer normalverteilung zu
> tun haben!Das vermute ich zumindest!
Ja, hat es auch. Ich hätte es zwar schöner gefunden, wenn Du zumindest einen ersten Ansatz geliefert hättest, aber Du hast Glück - bin heute sehr gut gelaunt und präsentiere mal eine Lösung.
Zunächst gilt ja für die Momente einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen $X$
- für ungerades $i$: [mm] $E(X^i)=0$
[/mm]
- für gerades [mm] $i=2\nu$: $E(X^i)=1\cdot 3\cdot\ldots\cdot (2\nu-1)$.
[/mm]
Daraus ergibt sich speziell [mm] $E(X^2)=1$ [/mm] und [mm] $E(X^4)=3$ [/mm] (deshalb ist die Kurtosis von $X$ gleich 3 bzw. der Exzess 0).
Eine [mm] $\chi^2_n-$verteilte [/mm] ZV $Y$ ist ja verteilt wie eine Summe von $n$ unabhängigen, identisch standardnormalverteilten Zufallsvariablen [mm] $X_1,\ldots,X_n$, [/mm] also
[mm] $Var(Y)=Var\left(\sum\limits_{i=1}^n X_i^2\right)$.
[/mm]
Nun benutzen wir die bekannte Formel [mm] $Var(Y)=E(Y^2)-E(Y)^2$ [/mm] und erhalten
[mm] $Var(Y)=E\left(\left(\sum\limits_{i=1}^n X_i^2\right)^2\right)- \left(E\left(\sum\limits_{i=1}^n X_i^2\right)\right)^2$
[/mm]
[mm] $=E\left(\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n X_i^2X_j^2\right)-\left(\sum\limits_{i=1}^n E(X_i^2)\right)^2$
[/mm]
[mm] $=nE(X_1^4)+n(n-1)E(X_1^2X_2^2)-(n E(X_1^2))^2$
[/mm]
[mm] $=3n+n(n-1)E(X_1^2)\cdot E(X_2^2)-n^2$
[/mm]
[mm] $=3n+n^2-n-n^2=2n.$
[/mm]
Viele Grüße
Brigitte
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