Burger Equation 2D < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:47 So 08.03.2015 | | Autor: | lm92 |
Hallo zusammen
Ich bin gerade etwas verwirrt, denn eigentlich sollte mir das wohl klar sein :S
Die Burger Equation in 2D (inviscid)
[mm] $\begin{matrix}
u_t+u u_x + v u_y &= 0\\
u_t+u v_x + v v_y &= 0
\end{matrix}$
[/mm]
Was auch absolut Sinn macht. In diversen paper ist dies in flux form gegeben als
[mm] $u_t [/mm] + [mm] \left(\frac{1}{2}u^2\right)_x [/mm] + [mm] \left(\frac{1}{2}u^2\right)_y [/mm] = 0$
Aber warum sollte das so sein? Ich nehme mal an, $u$ ist dann in [mm] $\IR^2$ [/mm] gegeben. Eigentlich würde ich dann annehmen sollte [mm] $u^2=u\cdot [/mm] u$ sein, also Skalarprodukt. Aber wie kommt man denn z.B. auf $u [mm] v_x$.
[/mm]
Ich habe wohl gerade einen Knopf :)
Viele Grüsse
Quelle: z.B. Conservation Constrained Runge-Kutta Discontinuous Galerkin Method with the Improved CFL Condition for Conservation Laws, Xu 2010. Aber auch sonst an vielen Orten.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 So 08.03.2015 | | Autor: | chrisno |
Beim lesen in Internet bin ich auf die Idee gekommen, dass $u(t,x,y)$ von [mm] $\IR^3 \to \IR$ [/mm] abbildet. Dann ergibt sich [mm] $\br{\partial u^2}{\partial x} [/mm] = 2u [mm] \br{\partial u}{\partial x}$. [/mm] Insgesamt also: [mm] $u_t [/mm] + [mm] uu_x [/mm] + [mm] uu_y [/mm] = 0$.
Eine zweite Gleichung und eine Funktion v sehe ich so nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 So 08.03.2015 | | Autor: | lm92 |
Nein, eigentlich müssen es schon zwei sein.
Die Burger Equation wie ich sie kenne in 2D sind
[mm] $\begin{matrix}
u_t + u u_x + v u_y &= 0 \\
v_t + u v_x + v v_y &= 0 \end{matrix}$
[/mm]
mit Anfangsbedingungen
[mm] $\begin{matrix}
u(x,y,0)=u_0(x,y)\\
v(x,y,0)=v_0(x,y)
\end{matrix}
[/mm]
Eine der beiden Gleichungen alleine macht in meinen Augen wenig Sinn, weil es keine eindeutige Lösung gäbe. Also gehe ich davon aus, dass in der anderen Gleichung $u$ eine Abbildung [mm] $\IR^3 \rightarrow \IR^2$ [/mm] ist, resp. mit Notation oben ist dann
[mm] $\vec{u}= \begin{pmatrix} u(x,y,t) \\ v(x,y,t) \end{pmatrix} [/mm]
Resp. dann mit bestimmten fluxes [mm] $\vec{F}_x$ [/mm] und [mm] $\vec{F}_y$ [/mm] denke ich mir was in die Richtung
[mm] $\vec{u}_t [/mm] + [mm] \left(\vec{F}_x\right)_x [/mm] + [mm] \left(\vec{F}_y\right)_y [/mm] = 0$
Bloss irgendwie macht es hier weiter von mir aus gesehen keinen Sinn mehr... denn gemäss den Papers sollte dann [mm] $F_x$ [/mm] irgendwie [mm] $u^2$ [/mm] sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:40 Mo 09.03.2015 | | Autor: | chrisno |
Genau da höre ich nun auf. Denn wenn u eine verktorielle Größe ist, dann kann in der Gleichung nicht [mm] $u^2$ [/mm] das Skalarprodukt sein. Die Addition von Vektoren und Skalaren ist nicht definiert.
Viel Erfolg, hoffentlich findet sich jemand, der sich damit auskennt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Di 10.03.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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