Bsp nicht-isometrisch Operator < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich bin grad auf der Suche nach einem nicht-isometrischen, aber linearen und beschränkten Operator zwischen zwischen zwei normierten Räumen.
Also zwei normierte Räume [mm] (X,\|*\|_X) [/mm] und [mm] (Y,\|*\|_Y) [/mm] mit T: X [mm] \to [/mm] Y mit T linear und beschränkt. (also T [mm] \in [/mm] L(X,Y)
so dass immer ein x [mm] \in [/mm] X , [mm] x\not=0 [/mm] mit [mm] \|Tx\| [/mm] = [mm] \|T\|\|x\|
[/mm]
Oder sind etwa alle T [mm] \in [/mm] L(X,Y) zwischen zwei normierten Räumen isometrisch?
Danke schonmal..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Mo 19.05.2008 | | Autor: | fred97 |
1. Ein isometrischer linearer Operator T hat die Eigenschaft
||Tx||=||x|| für jedes x in X,
insbesondere ist dann ||T||=1. Hat also ein beschränkter linearer Operator eine Norm ungleich 1, so ist er nicht isometrisch !
Bsp.: X=Y und T=2I (I= Id auf X)
2. Ist T ein beschränkter linearer Operator, so muß kein x in X existieren mit
||Tx||=||T|| ||x|| !!
(solche Beispiele findet man natürlich nur in unendlichdimensionalen normierten Räumen, kennst du ein solches Beispiel ?)
Beachte: in der Def. der Operatornorm steht "sup" und nicht "max" .
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Mo 19.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Worin besteht denn deine Mtteilung ?
FRED
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sorry. Es war ein Versehen und ich habe keine Funktion zum Löschen der Mitteilung gefunden! :-(
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